In foarte multe aplicatii practice apare necesitatea aproximarii unei functii f: (a, b (a+'R printr-o alta functie F (x) relativ simpla, astfel ca pentru orice valoare a lui x, valoarea lui F (x) sa fie suficient de aproape de valoarea lui f (x). Exista in special doua cazuri in care se impune aproximarea functiei f (x). Primul este acela in care functia f (x) are o expresie complicata sau este dificila de evaluat sau de manipulat in calcule. Astfel, de exemplu, pentru evaluarea functiei cos (x) prin operatii aritmetice se impune mai intai aproximarea functiei printr-o suma partiala a seriei de puteri: cos x a?^ 1 - x2 + x4 - (-1) n x2n Al doilea caz in care se impune aproximarea functiei f (x) este acela in care aceasta este data printr-o tabela de valori, obtinuta, de exemplu, ca urmare a unor masuratori: In aceasta situatie se aproximeaza functia data tabelar printr-o expresie analitica, care sa permita interpolarea in tabela de valori, cu alte cuvinte estimarea valorilor f (x) pentru x = xk.
Fie M - { f / f: (a, b (a+' R } un spatiu vectorial si fie o multime de functii I+0 (x), I+1 (x), I+k (x), apartinand lui M, liniar independente, adica c0I+0 (x) + c1I+1 (x) +. + ckI+k (x) =0, sa rezulte c0= c1= =ck= 0. Foarte frecvent in procesul de aproximare se iau drept set de functii liniar independente, functiile 1, x, x2, . xm. In acest caz, polinomul de aproximare Fm (x) va fi un polinom algebric. Polinoamele sunt usor de evaluat, iar suma, diferenta si produsul a doua polinoame conduc de asemenea la polinoame. In plus, polinoamele pot fi derivate si integrate cu usurinta. Aproximarea polinomiala se bazeaza pe teorema de aproximare a lui Weierstrass care arata ca daca f (x) este continua pe intervalul inchis (a, b (atunci pentru orice Iu > 0, exista un polinom pn (x) de gradul n=n (Iu) , astfel ca: f (x) -pn (x (< Iu, a a?? x a?? b.
Din nefericire criteriile existente pentru generarea polinomului de aproximare nu garanteaza in nici un fel ca polinomul gasit este cel pus in evidenta de teorema lui Weierstrass.
Un alt set de functii liniar independente, des utilizate in teoria aproximarii, sunt: A 1/2 , cos x, sin x cos 2x, sin 2x, cos mx, sin mx. In acest caz polinomul de aproximare poarta numele de polinom trigonometric.
Din expresia functiei Fm (x) se observa ca nu este suficienta cunoasterea functiilor liniar independente I+k (x), fiind necesara de asemenea determinarea coeficientilor ck. Pentru calculul acestor coeficienti sa presupunem ca spatiul M se poate organiza ca un spatiu metric, adica putem defini pe M o functie ce masoara distanta dintre doua functii oarecare f si g. Vom determina polinomul generalizat Fm (x) deci si coeficientii c0, c1, , cm impunand conditia ca distanta dintre functia data f si multimea polinoamelor generalizate sa fie cit mai mica.
In functie de modul de definire a distantei se pot pune in evidenta urmatoarele criterii mai des utilizate 1. 2. Criteriul de aproximare prin interpolare Xk x0 x1 xn f (xk) f (x0) f (x1) . f (xn) alegand valorile xi ca fiind cele din ...
LARIONESCU D. - METODE NUMERICE SI PROGRAMAREA IN LIMBAJUL FORTRAN, INSTITUTUL POLITEHNIC BUCURESTI, 1985
NICOLAE P. , OTLACAN P. - ELEMENTE DE ANALIZA NUMERICA SI PROGRAMAREA CALCULATOARELOR ELECTRONICE. BUCURESTI, ACADEMIA MILITARA, 1971
ALEXANDRU PETCU - HORIA CRISTIAN PETCU, ANALIZA NUMERICA, EDITURA PREMIER, PLOIESTI, 2001
STANASILA O. - ANALIZA MATEMATICA. BUCURESTI, ED. DIDACTICA SI PEDAGOGICA, 1981
SABAC I. GH. - MATEMATICI SPECIALE. BUCURESTI, ED. DIDACTICA SI PEDAGOGICA, 1983
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.
