Elementele și particularitățile claselor speciale de funcții univalente

In lucrarea de fata sunt prezentate pentru inceput rezultatele clasice fundamentale din teoria geometrica a functiilor complexe univalente.

Capitolul 1 se refera la rezultatele de baza ale teoriei geometrice a functiilor, cum ar fi teorema ariei, teoremele de acoperire si de deformare pentru clasa S, teorema generalizata a ariei, iar ca o aplicatie a acesteia este demonstrata conjectura lui Bieberbach pentru cazul n=4. Capitolul 3 prezinta o expunere a unora din principalele clase speciale de functii univalente definite cu ajutorul unor proprietati geometrice remarcabile, ca de exemplu: functiile stelate, functiile convexe, functiile spiralate, functiile a caror derivata are partea reala pozitiva, functiile tipic reale.

Prin tema aleasa am dorit sa vin in intampinarea studentilor care urmeaza cursuri de analiza complexa. Aceasta lucrare isi propune sa familiarizeze studentii si viitorii cercetatori cu notiunile de baza specifice acestui domeniu.

In aceasta lucrare am incercat sa reunesc toate notiunile teoretice necesare pentru intelegerea functiilor univalente.

Doarece in Romania nu exista foarte multa carti care sa trateze aceasta tema, destul de importanta in analiza complexa, unul din scopurile acestui proiect este de a face cunoscute functiile univalente O functie olomorfa (sau meromorfa) intr-un domeniu D se zice ca este univalenta in acest domeniu daca orice valoare a sa este luata o singura data in D, cu alte cuvinte, daca ea este injectiva in D.

Daca functia este meromorfa si injectiva (univalenta) in D ea nu poate avea in acest domeniu decat un singur pol, care in mod necesar este pol simplu. O functie olomorfa (sau meromorfa) intr-un domeniu D se zice ca este n-valenta in acest domeniu daca orice valoare a sa este luata in cel mult n puncte distincte din D.

Pentru ca o functie olomorfa intr-un domeniu D sa fie univalenta in D este necesar ca derivata sa nu se anuleze in D.

Prima lucrare semnificativa, care a atras atentia asupra studiului functiilor univalente, apartine lui P.

Koebe si a fost publicata in 1907. In perioada care s-a scurs pana in prezent, teoria functiilor univalente s-a dezvoltat considerabil. Printre tratatele si monografiile consacrate functiilor univalente amintim, in ordine cronologica: 1. P.

Montel. Lecons sur les Fonctions Univalentes ou multivalentes, Gauthier- villars. Paris, 1993 2. A. C. Schaeffer, D.

C. Spercer, Coefficient Regions for Schlicht Functions, Amer. Math. Soc. Collog. Publ., vol. 35, New York, 1950 3. Z. Nehari. Conformal Mappings, Mc Graw-Hill Book Comp., 1952 (Dover Publ. Inc. 1975) 4. W. K. Hayman, Multivalent Functions, Cambridge Univ. Press, 1958 5. J. A. Jekins, univalent Functionsand Conformal Mapping, ed. II, 1965 6. I.

M. Millin, Functii univalente si sisteme ortonormate, Izdat. Nauka, Moscow, 1971 (limba rusa) 7. Ch. Pommerenke, Univalent Functions, Vanderhoeck and Ruprecht, Gottingen, 1975 8. A. W. Goodman, Univalent Functions, Mariner Publ. Comp., Tampa, Florida, 1984 9. P.

L. Duren ...

L. ALPHORS - "CONFORMAL INVARIANTS. TOPICS IN GEOMETRIC FUNCTION THEORY" - MC. GRAW - HILL BOOK COMP. , NEW YORK, 1973

G. CALUGAREANU - "SUR LA CONDITION NECCESAIRE ET SUFFISANTE POUR LUNIVALENCE DUNE FUNCTIONS HOLOMORPHE DANS UN CIRCLE" - C. R. ARAD. SCI. PARIS, 1931

G. CALUGAREANU - "SUR LES CONDITIONS NECCESAIRES ET SUFFISANTE POUR LUNIVALENCE DUNE FUNCTIONS HOLOMORPHE DANS UN CIRCLE" - MATHEMATICA, 1932

PETRU T. MOCANU, TEODOR BULBOACA, GRIGORE ST. SALAGEAN - "TEORIA GEOMETRICA A FUNCTIILOR UNIVALENTE" - CASA CARTII DE STINTA, 1999

G. CALUGAREANU - "ELEMENTE DE TEORIA FUNCTIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA" - EDITURA DIDACTICA SI PEDEGOGICA, BUCURESTI, 1963

Z. CHARZYNSKI, M. SCHIFFER - "A GEOMETRIC PROOF OF THE BIEBERBACH CONJECTURE FOR THE FOURTH COEFFICIENT" - SCRIPTA MATH. , 1960

L. DE BRANGES - "A PROOF OF THE BIEBERBACH CONJECTURE" - ACTA MATH. , 1985

C. H. FITZGERALD - "QUADRATIC INEQUALITIES AND COEFFICIENT ESTIMATES FOR SCHLICHT FUNCTIONS" - ARCH. RATIONAL MECH ANAL. , 1972

P. R. GARABEDIAN, M. SCHIFFER - "A CE PROOF OF THE BIEBERBACH CONJECTURE FOR THE FOURTH COEFFICIENT" - J. RATIONAL MECH. ANAL. , 1955

W. K. HAYMAN - "THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF P - VALENT FUNCTIONS" - PROC. LONDON MATH. SOC. , 1955

T. H. MACGREGOR - "FUNCTIONS WHOSE DERIVATIVE HAS A POSITIVE REAL PART" - TRANS. AMER. MATH. SOC. , 1962

M. OZAWA - "AN ELEMENTARY PROOF OF THE BIEBERBACH CONJECTURE FOR THE SIXTH COEFFICIENT" - KODAI MATH. SEM. REP. , 1969

R. N. PEDERSON, M. SCHIFFER - "A PROOF OF BIEBERBACH CONJECTURE FOR THE FIFTH COEFFICIENT" - ARCH. RATIONAL MECH. ANAL. , 1972