De obicei, credem despre integrala nedefinita ca este mult mai complexa decat determinarea radacinilor unei ecuatii algebrice. De asemenea, este bine de stiut ca solutia unor ecuatii algebrice nu poate fi scrisa in termeni de radicali si ca anumite functii nu poseda integrale elementare. Oricum, datorita profunzimii dovezii acestor fapte, cateva texte merg dincolo de simpla expunere a catorva exemple. Confundand o conditie suficienta cu una necesara si suficienta, foarte multi studenti spun sigur ca ecuatiile de grad mai mic sau egal cu patru pot fi rezolvate.
Cu tot respectul fata de integrare, este bine de stiut ca unele functii nu pot fi integrate (in termeni finiti), dar nu posedam nici o metoda de a vedea care functii sunt integrabile si care nu. Aceasta ultima situatie nu a fost acceptata de Liouville, care obtine un test: de conditie necesara si suficienta pentru integrabilitatea unei clase largi de functii. Noi trebuie sa folosim acest test si sa aratam cum trebuie sa-l aplice un proaspat student si care este utilitatea lui in tehnica de integrare. Baza acestui test este urmatoarea teorema, care este suficient de naturala pentru a fi imediat acceptata si retinuta.
Acesta este un caz special al teoremei originale a lui Liouville, dar este suficient de general pentru scopul nostru.
In aceasta nota, prin functie rationala intelegem ecuatia a doua polinomiale cu coeficientii in orice camp de caracteristica zero (de exemplu numerele complexe). In termeni de functie elementara este foarte dificil de definit. Totusi, studentul este dispus sa accepte sensul ca ecuatia algebrica generala de gradul cinci nu poate fi rezolvata in termeni de radicali, cu toate ca noi stim: in termeni de radicali necesita o discutie preliminara. De aceea, nu gaseste nici o dificultate in urmatoarea: Definitie: Numim functie elementara orice functie care poate fi construita prin combinatii finite ale functiilor exponentiale, trigonometrice, radicali si inversele lor.
Pe scurt, nu conteaza cat de complicata este functia, daca o putem scrie ca o combinatie de functii exponentiale, trigonometrice, radicali si inversele lor, ea este elementara. Lema: Daca f (x) = (x - () r h (x) , unde r > 0, h (x) este o functie polinomiala si h ( () (0, atunci f (x) = (x- () r-1 k (x) , unde k ( () (0. Putem face lucrurile mai usoare daca definim multiplicitatea. Definitie: Numarul (este numit un zero al functiei polinomiale f (x) de multiplicitate r daca: f (x) = (x - () r h (x) , unde h ( () (0. In termeni de multiplicitate, lema se scrie: Daca (este un zero al polinomului f (x) de multiplicitate r > 0, atunci (este un zero al lui f (x) de multiplicitate r 1. Exemple: Q2 = QP -PQ -2xPQ (I. 3) care este ecuatia (I. 2) . Dand factor comun pe Q, obtinem: Presupunem ca gradul lui Q este pozitiv. Atunci Q = 0 are o radacina; sa consideram pe (o astfel de radacina si s-o numim de multiplicitate r (r > 0) . Avem P si Q relativ prime; ...
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.
