Studiu asupra algoritmilor de calcul a distanțelor minime în grafuri finite

In general, pentru situatiile care necesita la rezolvare un oarecare efort mintal (si un caz tipic este cel al celor din economie), se cauta, in primul rand, o metoda de reprezentare a lor care sa permita receptarea intregii probleme dintr-o privire (pe cat posibil) si prin care sa se evidentieze cat mai clar toate aspectele acesteia. In acest scop se folosesc imagini grafice gen diagrame, schite, grafice etc.

O reprezentare dintre cele mai utilizate este cea prin grafuri. Acestea sunt utilizate in special pentru vizualizarea sistemelor si situatiilor complexe. In general, vom reprezenta componentele acestora prin puncte in plan iar relatiile (legaturile, dependentele, influentele etc) dintre componente prin arce de curba cu extremitatile in punctele corespunzatoare. Intre doua puncte pot exista unul sau mai multe segmente (in functie de cate relatii dintre acestea, care ne intereseaza, exista) iar segmentelor li se pot asocia sau nu orientari (dupa cum se influenteaza cele doua componente intre ele), numere care sa exprime intensitatea relatiilor dintre componente etc.

Este evident, totusi, ca aceasta metoda are limite, atat din punct de vedere uman (prea multe puncte si segmente vor face desenul atat de complicat incat se va pierde chiar scopul pentru care a fost creat claritatea si simplitatea reprezentarii, aceasta devenind neinteligibila) cat si din punct de vedere al tehnicii de calcul (un calculator nu poate privi un desen ca un om). Din acest motiv, alaturi de expunerea naiv-intuitiva a ceea ce este un graf, data mai sus, se impune atat o definitie riguroasa cat si alte modalitati de reprezentare a acestora, adecvate in general rezolvarilor matematice.

Definitia I.

1. 1. Se numeste multigraf un triplet G = (X, A, f) in care X si A sunt doua multimi iar f este o functie, definita pe produsul cartezian al lui X cu el insusi (X2 = X (X), care ia valori in multimea partilor multimii A (notata P (A)) Multimea X se numeste multimea nodurilor multigrafului si elementele sale se numesc noduri (sau varfuri) ale multigrafului, iar A reprezinta multimea relatiilor (legaturilor) posibile intre doua noduri ale multigrafului.

Definitia I.

1. 2. Se numeste graf orientat un multigraf in care multimea A are un singur element: A = {a}. Exemplul I.

1. 1. Fie graful urmator: Fig. I.

1. 1. Multimea nodurilor acestui graf este X={x1, x2, x3, x4}, iar multimea arcelor sale este U={[x1, x2], [x1, x4], [x2, x1], [x3, x2], [x3, x4]}. In acest caz multimea partilor multimii A are doar doua elemente: multimea vida (si intreaga multime A.

Daca unei perechi orientate (xi, xj) din X2 i se asociaza prin functia f multimea A atunci spunem ca exista arc de la nodul xi la nodul xj iar perechea (xi, xj) se va numi arcul (xi, xj). Nodul xi se numeste nod initial sau extremitate initiala a arcului (xi, xj) iar nodul xj se numeste nod final sau extremitate finala a arcului (xi, xj). Arcul (xi, xj) este incident spre interior varfului xj si incident spre exterior varfului xi.

Daca pentru un arc ...