Desigur ca rezolvarea ecuatiilor de gradul I este acoperita de programa
claselor V-VIII. Nu este lipsit insa de interes sa consideram unele exemple
care presupun considerarea mai multor cazuri, in functie de valorile unor
parametri.
Ex. 1. Sa se rezolve si sa se discute ecuatiile:
a) 4m2x + 6 = 4m+ 9x
b) 2
1 3 2
2 1 4 1
m x
x x
+ +
=+
-
Solutie. a) Dupa separarea necunoscutei si factorizare, ecuatia se scrie:
(4m2 - 9) x = 4m- 6U(2m+ 3)(2m- 3) x = 2(2m-3)
In cazurile in care coeficientul lui x este nenul, adica pentru
3
2
m
I i? u i y
i ?
R , rezulta solutia unica
( )
( )( )
22 3 2
2 3 2 3 2 3
m
x
m m m
-
= =
+ - +
.
Sa consideram acum situatiile in care coeficientul lui x se anuleaza:
i)
3
2
m= . Ecuatia devine 0=0, adica identitate. Orice x real este o
solutie a ecuatiei.
ii)
3
2
m=- . Ecuatia devine 0=-12, propozitie falsa. In acest caz, ecuatia
nu are solutie (multimea solutiilor sale este vida).
Cele trei cazuri distincte prezentate mai sus pot fi sintetizate in
urmatorul tabel:
3
2
m
I i? u i y
i ?
R
2
2 3
x
m
=
+
solutie unica
3
2
m= xIR
3
2
m=- xIAE
b) Primul aspect care trebuie avut in vedere atunci cand in ecuatie apar
numitori este includerea unor conditii ca acestia sa nu se anuleze. In exemplul
de fata, aceste conditii sunt 2x +1? 0, 4x2 -1? 0 si ele conduc la
1
2
x
I i? u i y
i ?
R .
Dupa amplificarea primei fractii cu 2x -1 si eliminarea numitorilor, ecuatia
devine (m+1)(2x -1) = 3 + 2xU2(m+1) x - 2x = 3+ m+1U2mx = m+ 4 (*)
Daca mIR {0}, rezulta
4
2
m
x
m
+
= . Nu suntem insa siguri ca aceasta
solutie a ecuatiei (*) verifica si ecuatia initiala. Trebuie sa ne asiguram ca nu
se anuleaza numitorii din ecuatia initiala. Procedam prin negarea conditiei si
rezolvam pe rand ecuatiile:
4 1
2 8 2 8 0
2 2
m
m m m
m
+
= ? + = ? = ? IAE
4 1
2 8 2 4 8 2
2 2
m
m m m m
m
+
=- ? + =- ? =- ? =-
Am determinat deci valoarea m = -2 , pentru care solutia ecuatiei (*)
nu verifica ecuatia initiala.
Mai ramane de analizat cazul m = 0 . Ecuatia (*) devine 0=4 si este
imposibila. Sintetizand, rezulta tabelul:
mIR {-2,0} 4
2
m
x
m
+
= solutie unica
mI{-2,0} xIAE
Ex. 2. Sa se rezolve si sa se discute inecuatia 1,
1
x m
m
mx
-
? I
-
R. (G.M.B, 1974)
Observatie. Sa reamintim inainte de toate semnul functiei de gradul intai
f :R (R)R, f (x) = ax + b,a,bIR,a ? 0 .
x
-? b
a
- ?
ax + b, a > 0 - - - - - - - - 0 + + + + + + + +
ax + b, a < 0 + + + + + + + + 0 - - - - - - - -
Solutie. Existenta numitorului impune 1-mx ? 0 . Pentru m ? 0 , aceasta revine
la
1
x
m
I ii uy
i ?
R ; pentru m = 0 , conditia este 1 ? 0 si se verifica pentru orice x
real. Se trece 1 in membrul stang, aducand la acelasi numitor:
( )( ) ( ) 1 1 1
10 0 0
1 1 1
x m x m mx m x
mx mx mx
- - - + + -
- ? U ? U ? *
- - -
Distingem trei cazuri:
a) daca m > -1U m+1> 0, inecuatia revine la
1
0
1
x
mx
-
?
-
b) daca m < -1U m+1< 0 , avem
1
0
1
x
mx
-
?
-
c) pentru m = -1, rezulta 0 ? 0 , adevarata oricare ar fi xIR {-1}
Cazul m = 0 il vom considera separat. Sa tratam pe rand cazurile a) si b) (mai
putin situatia in care m = 0 ). Se observa ca numaratorul se anuleaza in x =1,
iar numitorul in
1
x
m
= . Se impune deci ordonarea acestor puncte pe dreapta
reala. Am putea rezolva inecuatia
1
1
m
> (cu ajutorul unui tabel), dar intuitiv
este mai simplu sa observam ca:
i) daca
1
m 0 0 1
m
< ? < < ;
ii) daca ( ) 1
m 0,1 1
m
I ? > ;
iii) daca
1
m 1 1
m
> ? < ;
iv) daca
1
m 1 1
m
= ? = .
Tinand cont de aceste observatii, rezulta urmatoarele cazuri:
a1) mI(-1,0) . Avem de rezolvat inecuatia
1
0
1
x
mx
-
?
-
, iar
1
0 1
m
< < . Se
alcatuieste tabelul:
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.