Algebra și analiza matematică

Daca intr-un punct x0, ? este continua si avem (sau invers), atunci punctul x0 se numeste punct de intoarcere al graficului lui ?.

Daca o functie ?: E -> R (E R) este continua intr-un punct x0 E, daca exista ambele derivate laterale, cel putin una dintre ele fiind finita, dar functia nu este derivabila in x0, atunci se spune ca x0 este punct unghiular al graficului lui ? (fig.2.). Intr-un punct unghiular cele doua semitangente, la stanga si la dreapta, formeaza un unghi ?

Exemple :

Pentru functia ?(x) = , scriem ecuatia tangentei in punctul x0 = 1.

Avem si ecuatia ceruta este

(fig. 3).

? I. Derivata unei functii intr-un punct

I.0o Originea notiunii de derivata

Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica - tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept.

I.1o Definitia derivatei unei functii intr-un punct

Fie o functie ? : E -> R (E R) si , x0 punct de acumulare al multimii E. Retinem ca ? este definita in x0.

DEFINITIA 1:

1) Se spune ca ? are derivata in punctul x0, daca exista ( in )

notata cu ?'(x0);

2) Daca derivata ?'(x0) exista si este finita se spune ca functia ? este derivabila in

x0.

Observatii. 1. Se poate intampla ca ?'(x0) sa existe si sa fie .

2.Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii

nu se pune in punctele izolate ale multimii E (daca E are astfel de puncte!).

Presupunem ca ?'(x0) exista; facand translatia x - x0 = h, atunci din relatia de definitie rezulta ca

DEFINITIA 2:

Daca o functie ?: E -> R este derivabila in orice punct al unei submultimi F E, atunci se spune ca ? este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia F -> R, x -> ?'(x) se numeste derivata lui ? pe multimea F si se noteaza cu ?'. Operatia prin care ?' se obtine din ? se numeste derivarea lui ?.