Vibrații mecanice

3.1. Calculul teoretic al pulsatiilor proprii

Pentru determinarea pulsatiilor proprii ale unui arbore elastic cu n volanti este necesar sa se rezolve ecuatia pulsatiilor proprii, care este o ecuatie algebrica de gradul n in ?2. In numeroase aplicatii prezinta interes, practic, numai pulsatia proprie cea mai coborata, numita si pulsatie fundamentala.

Pentru calculul pulsatiei fundamentale s-au elaborat o serie de metode aproximative care permit calculul acesteia, fara sa rezolvam ecuatia, dintre care cea mai folosita este metoda Rayleigh.

a) Vibratii flexionale

Fig. 3.1

Pentru ca sa determinam expresia aproximativa a pulsatiei proprii fundamentale a vibratiilor flexionale ale unui arbore, de masa neglijabila, pe care sunt montati n volanti (fig. 3.1), vom presupune ca toti volantii au o miscare armonica sincrona pe directie verticala, deformatia dinamica a arborelui avand expresia:

Energia cinetica maxima a sistemului se calculeaza considerand numai miscarea de translatie a maselor pe directia verticala y:

Energia potentiala maxima este egala cu lucrul mecanic efectuat de fortele : unde Yi este amplitudinea vibratiei masei .

Functia Yi trebuie sa indeplineasca conditiile la limita ale problemei.

De obicei, pentru functia Yi se alege functia sagetilor produse de fortele concentrate , aplicate static. In acest caz, valorile Yi se pot calcula cu relatiile din cursul de Rezistenta Materialelor, stabilite cu metoda suprapunerii efectelor, si au valorile:

Y1 = 1,16.10-5 m ; Y2 = 1,91.10-5 m ; Y3 = 1,89.10-5 m ; Y4 = 0.92.10-5 m

Egaland cele doua expresii ale energiilor se obtine formula pulsatiei proprii fundamentale:

, numita si raportul lui Rayleigh.

Pentru calculul energiei cinetice maxime, atunci cand se considera si masa barei, la energia cinetica a barei se adauga energia cinetica a maselor aditionale.

Pentru rezolvarea problemei prin metoda Rayleigh se considera functia aproximativa :

Y(x) = sin ?x/l

care reprezinta modul fundamental de vibratie pentru bara neincarcata.

Egaland cele doua expresii ale energiilor se obtine formula pulsatiei proprii fundamentale, daca se considera si masa arborelui:

b) Vibratii torsionale

Fig. 3.2

Fie un arbore cu n+1 volanti, liber la extremitati (fig. 3.2).

Ecuatiile vibratiilor de rasucire se scriu sub forma:

Daca se aduna ecuatiile obtinem:

Considerand vibratia dupa un mod propriu, se cauta solutii de forma:

Rezulta :

Inlocuind in sistemul de ecuatii diferentiale obtinem:

Daca se calculeaza determinantul sistemului, obtinem ecuatia pulsatiilor proprii care se rezolva dificil. Din prima ecuatie rezulta :

A doua ecuatie se scrie sub forma:

Determinarea pulsatiilor proprii ale unui arbore elastic cu mase concentrate