Rezolvarea ecuatiilor matriceale
liniare Sylvester si Liapunov
2.1 Tema
^Insusirea tehnicilor de rezolvare a unor sisteme liniare, ^n general de mari dimensiuni, structurate
^n exprimari matriceale care permit dezvoltarea unor metode specice de calcul. Concret,
se vor elabora, edita si testa programe MATLAB pentru rezolvarea ecienta a ecuatiilor matriceale
Sylvester si Liapunov continue si discrete.
2.2 Ecuatii matriceale liniare. Algoritmi
Ecuatiile matriceale liniare sunt sisteme de ecuatii liniare care pot scrise compact ^n forma
matriceala
Pk
i=1 AiXBi = C, unde Ai 2 IRpm, Bi 2 IRnq si C 2 IRpq sunt matrice date iar
X 2 IRmn este matricea necunoscutelor. Evident, aceasta ecuatie poate scrisa ^ntr-o forma
"desfasurata" ca sistem de pq ecuatii liniare cu mn necunoscute. O astfel de abordare eludeaza
"structura matriceala" a sistemului iar aplicarea tehnicilor clasice de rezolvare pe sistemul
desfasurat, neexploat^and structura interna a datelor de intrare, este, de cele mai multe ori,
inecienta. ^In continuare vom considera numai cazul "determinat", ^n care numarul ecuatiilor
este egal cu numarul necunoscutelor, i.e. Ai 2 IRmm, Bi 2 IRnn sunt matrice patrate iar
C;X 2 IRmn.
Ecuatiile matriceale liniare cele mai ^nt^alnite ^n aplicatii, e.g. ^n domeniul automaticii, se
obtin pentru k = 2, i.e. sunt de forma A1XB1 + A2XB2 = C. Particularizarile
AX + XB = C; (2.1)
AXB + X = C: (2.2)
sunt cunoscute sub denumirea de ecuatii matriceale Sylvester continua, respectiv discreta.
Particulariz^and si mai mult, obtinem ecuatiile matriceale liniare cunoscute sub denumirile
de ecuatie Liapunov continua pentru
ATX + XA = C; (2.3)
respectiv ecuatie Liapunov discreta pentru
ATXA X = C: (2.4)
2 LABORATOR 2. ECUAT II MATRICEALE LINIARE
Conditiile de existenta si unicitate ale solutiilor acestor ecuatii sunt date de
Teorema 2.1 Ecuatia matriceala Sylvester continua (2.1) admite o solutie X 2 IRmn unica
daca si numai daca
i + j 6= 0; 8 i 2 (A); 8 j 2 (B) (2.5)
sau, altfel spus, daca si numai daca (A) ( B) = ;.
Ecuatia matriceala Sylvester discreta (2.2) are o solutie X 2 IRmn unica daca si numai
daca
ij 6= 1; i 2 (A); 8j 2 (B): (2.6)
^In particular avem
Corolar 2.1 Ecuatia matriceala Liapunov continua (2.3) admite o solutie unica daca si numai
daca matricea A nu are nici o pereche de valori proprii opuse, i.e.
i + j 6= 0; 8 i; j 2 (A); (2.7)
^In particular, 0 62 (A) i.e. matricea A trebuie sa e nesingulara.
Ecuatia matriceala Liapunov discreta (2.4) admite o solutie unica daca si numai daca matricea
A nu are nici o pereche de valori proprii inverse, i.e.
ij 6= 1; 8 i; j 2 (A); (2.8)
^In particular, este necesar ca 1 62 (A) .
2.2.1 Rezolvarea ecuatiilor matriceale Sylvester
Rezolvarea ecuatiilor matriceale Sylvester triunghiulare si cvasitriunghiulare
Ecuatiile Sylvester sau Liapunov triunghiulare sunt cele la care matricele A si B au o structura
triunghiulara si permit un calcul simplu al necunoscutelor printr-o procedura de substitutie
numerica directa daca se respecta o ordine de calcul determinata. Pentru subliniere, vom folosi
notatii specice. Fie, de exemplu, ecuatia Sylvester continua
SX + XT = C (2.9)
unde matricele S 2 IRmm si T 2 IRnn sunt superior triunghiulare cu sii + tjj 6= 0, 8i = 1 :
m; 8j = 1 : n. Din egalitatea (SX + XT)ij = cij rezulta
siixij + xij tjj = cij
Xm
k=i+1
sikxkj
Xj 1
k=1
xiktkj ; i = 1 : m; j = 1 : n (2.10)
Av^and ^n vedere ca ^n membrul drept al relatiei (2.10) apar elementele matricei necunoscute X
a
ate ^n "st^anga" si "sub" necunoscuta curenta xij (vezi g. 2.2.1), rezulta ca valorile lor vor
disponibile la momentul curent daca ordinea de calcul este i = m;m 1; : : : ; 1 si j = 1; 2; : : : ; n,
^n care caz putem utiliza relatia de calcul
xij =
cij
Pm
k=i+1 sikxkj
Pj?1
k=1 xiktkj
sii + tjj
: (2.11)
Rezulta urmatoarele doua versiuni (pe "linii', respectiv "pe coloane") ale algoritmului de
rezolvare a ecuatiiei matriceale Sylvester (2.9).
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.