6.1 Tema
Elaborarea, implementarea si testarea procedurilor de analiza numerica a proprietatilor sistemice
fundamentale (stabilitate, controlabilitate si observabilitate, etc.).
6.2 Teste numerice de stabilitate a sistemelor liniare
Stabilitatea unui sistem liniar S = (A;B;C) este o proprietate ce depinde numai de matricea
A. Mai precis, sistemul S este stabil daca matricea de tranzitie (t) asociata lui A satisface
conditia (t) ! 0 c^and t ! 1. Deoarece matricea de tranzitie are expresii diferite ^n cazurile
continuu si discret, adica (t) = etA; t 2 R, respectiv (t) = At; t 2 N, proprietatea de
stabilitate are si ea exprimari diferite ^n cele doua cazuri.
Denitia 6.1 Matricea A a unui sistem continuu este stabila daca toate valorile proprii ale lui
A au partea reala strict negativa, deci sunt plasate ^n semiplanul st^ang deschis C al planului
complex C.
Pe scurt, criteriul (conditia necesara si sucienta) de stabilitate^n cazul continuu este (A)
C? sau, mai sugestiv, Re(A) < 0:
Denitia 6.2 Matricea A a unui sistem discret este stabila daca toate valorile proprii ale lui A
au modul strict subunitar, deci sunt plasate ^n discul unitate deschis D1(0) din planul complex
C.
Pe scurt, criteriul de stabilitate ^n cazul discret este j(A)j < 1:
Deoarece ^n ambele cazuri, continuu si discret, proprietatea de stabilitate vizeaza o anumita
plasare a valorilor proprii, iar acestea se calculeaza ecient utiliz^and algoritmul QR, obtinem
urmatorul test de stabilitate pentru sisteme liniare.
Algoritmul 6.1 (Data o matrice patrata A si variabila sir de caractere tip,
algoritmul testeaza stabilitatea matricei A).
1. = eig(A) % Se calculeaza valorile proprii (A) utiliz^and algoritmul QR (fara
acumularea transformarilor).
2 LABORATOR 6. PROCEDURI NUMERICE DE ANALIZA SISTEMICA
2. Daca tip='continuu' atunci
1. Se determina = max Re(i).
2. Daca < 0 atunci
1. Tipareste 'Sistemul continuu este stabil'
altfel
2. Tipareste 'Sistemul continuu este stabil'
3. Daca tip='discret' atunci
1. Se determina = max j(A)j.
2. Daca < 1 atunci
1. Tipareste 'Sistemul discret este stabil.'
altfel
2. Tipareste 'Sistemul discret este instabil.'
6.3 Teste numerice de controlabilitate si observabilitate a
sistemelor liniare
Un sistem liniar S = (A;B;C) este controlabil daca orice tranzitie de stare dorita poate
realizata prin alegerea adecvata a functiei de intrare. Prin urmare, controlabilitatea sistemului
liniar S este o proprietate ce depinde numai de perechea (A;B).
Introduc^and matricea de controlabiltate R, denita de
R =
B AB : : : An 1B
; (6.1)
avem urmatoarea denitie, valabila at^at pentru sistemele continue c^at si pentru cele discrete.
Denitia 6.3 Perechea (A;B) este controlabila daca si numai daca
rangR = n: (6.2)
Daca perechea (A;B) are o singura intrare, deci m = 1, atunci R este patrata si conditia
ca perechea (A;B) sa e controlabila se reduce la conditia ca matricea de controlabilitate R sa
e nesingulara.
Un sistem liniar S = (A;B;C) este observabil daca starea initiala este unic determinata
cunosc^and functiile de intrare si iesire, obtinute e.g. prin masuratori efectuate la terminalele
lui S. Deci, observabilitatea sistemului liniar S depinde numai de perechea (C;A).
Introduc^and matricea de observabilitate
Q =
2
6664
C
CA
...
CAn 1
3
7775
; (6.3)
avem urmatoarea denitie, valabila at^at pentru sistemele continue c^at si pentru cele discrete.
Denitia 6.4 Perechea (C;A) este observabila daca si numai daca este satisfacuta conditia de
rang
rangQ = n: (6.4)
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.