Modele Sistemice Liniare. Reprezentare Numericia, Conversii, Conexiuni

4.1 Tema

Formarea deprinderilor de utilizare a conventiilor MATLAB de reprezentare numerica a modelelor

sitemice de stare si de transfer. Testarea algoritmilor de conversie intre modele sistemice

trecum si calculul modelelor pentru sisteme complexe obtinute prin conectarea unor sisteme

simple cu accent pe studiul coonexiunilor fundamentale.

4.2 Reprezentarea numerica a modelelor sistemice.

Conventii MATLAB

^In aceasta sectiune ne vom ocupa de reprezentarile numerice ale modelelor matematice ale

sistemelor liniare si asa cum sunt utilizate acestea de catre functiile din MATLAB CONTROL

TOOLBOX.

4.2.1 Modele sistemice liniare

^In general, un sistem liniar continuu, respectiv discret, este denit printr-un model de stare de

forma

(S)



x_ (t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

; t 2 IR; respectiv



x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k)

; k 2 ZZ:

(4.1)

unde vectorii x 2 Rn, u 2 Rm si y 2 Rl sunt starea, intrarea si, respectiv, iesirea sistemului iar

A;B;C;D sunt matrice constante de dimensiuni corespunzatoare. Dimensiunea n a spatiului

starilor X = Rn se numeste ordinul (sau dimensiunea) lui (S).

Pe scurt, un model de stare al unui sistem liniar este denit de un cvartet de matrice si ^n

consecinta se noteaza S = (A;B;C;D). Matricea A 2 Rnn caracterizeaza dinamica interna a

sistemului, coloanele matricei B 2 Rnm denesc canalele de intrare, liniile matricei C 2 Rln

denesc canalele de iesire iar elementele matricei D 2 Rlm reprezinta caile de transfer direct

2 LABORATOR 4. MODELE SISTEMICE

intrare-iesire. Daca D = 0 atunci sistemul S, notat pe scurt S = (A;B;C), este pur dinamic, ^n

sensul ca orice transfer intrare-iesire este posibil numai prin intermediul modicarii (dinamice)

a starii x. Aceste idei sunt evidentiate de schema bloc asociata lui (S) (e.g. continuu - gura

4.1).

D

B

R

C

A

- - h - - - h -

-



?

6

u x_ x y

+

+

Figura 4.1: Structura modelului de stare al unui sistem liniar (continuu).

Modelul de stare (S) este invariant la o transformare liniara de stare

~x = Tx; (4.2)

unde T 2 Rnn este o matrice nesingulara arbitrara, ^n sensul ca noul vector de stare ~x satisface

ecuatii (~ S) de acelasi tip cu (S), ^n care matricele corespunzatoare sunt

~ A = TAT1 ; ~B = TB ;

~ C = CT1 ; ~D = D:

(4.3)

Modelele (S) si (~ S) legate prin relatiile (4.3) se numesc echivalente (sau asemenea) si sunt

indiscernabile prin experimente intrare-iesire, deci reprezinta un acelasi sistem liniar considerat

modulo relatia de echivalenta (4.3). Pe scurt, au sens sistemic numai acele proprietati ale

sistemului (S) care sunt invarianti ai lui (S) ^n raport cu transformarile (4.3). Din motive de

ecienta si siguranta a calculului, deseori vom restr^ange clasa transformarilor utiliz^and ^n (4.3)

numai matrice T = U ortogonale. ^In acest caz, vom spune ca modelele (S) si (~ S) sunt ortogonal

echivalente si, ^n mod corespunzator, vom acorda o atentie speciala invariantilor ortogonali ai

lui (S).

^In MATLAB Control System Toolbox pentru modelele de stare se utilizeaza sigla ss (state

space model) si orice cvartet de matrice (A;B;C;D) care satisface restrictiile dimensionale

evidente (i.e. A este patrata si cele patru matrice pot "asezate" ^n tabloul



A B

C D



),

reprezinta un model de stare valid continuu sau discret. Atributul de "continuu", respectiv

"discret", este xat exclusiv de utilizator prin modul de folosire. De aceea, ^n continuare vom

considera numai sistemele continue (sistemele discrete se vor lua ^n considerare numai atunci

c^and apar aspecte specice).

^In practica inginereasca proprietatile de transfer intrare-iesire ale unui sistem liniar ^n starea

initiala nula, adica pentru x(0) = 0, sunt caracterizate prin intermediul matricei de transfer

T(s) pentru sistemele continue, respectiv T(z) pentru sistemele discrete, denite de

T(s) = C(sI A)1B + D; respectiv T(z) = C(zI A)1B + D (4.4)

si se constata usor ca T(s) si T(z) sunt matrice cu l linii si m coloane ale caror elemente sunt

functii rationale de variabila complexa.