Aproximarea Funcțiilor cu Polinoame de Interpolare

I. Scopul lucrării

Studiul unor algoritmi de aproximare a funcţiilor continue cu polinomul algebric de interpolare şi implementarea acestora într-un limbaj de programare de nivel înalt.

II. Prezentarea teoretică a lucrării

Avînd o funcţie f definită pe un anumit domeniu se cere de a se determina o altă funcţie F(x), avînd o formă mai simplă care va aproxima cît mai bine funcţia f(x) pe întreg domeniu de definiţie. Este evident, că aproximaţia stabilită F(x) va înlocui funcţia originală f(x) în toate calculele ulterioare. Deseori, problemele de aproximare apar în cazul unor funcţii definite tabelar. Funcţia f(x) este descrisă de un set de "puncte" definite de perechi de forma (valoare variabilă - valoare funcţie). Despre o asemenea funcţie se spune că este definită sub forma tabelară, conform următorului model:

x_k x_1 x_2 ... x_i ... x_(n+1)

f(x_k) f_1 f_2 ... f_i ... f_(n+1)

Tabelul de definiţie conţine n+1 puncte (x_k , f_k), pentru care f_k = f (x_k). În multe situaţii practice nu se urmareşte determinarea explicită a unei expresii pentru funcţia de aproximare F(x), ci numai a valorii sale într-un punct oarecare x. Dacă acest punct se găseşte în interiorul domeniului de definiţie al funcţiei f(x), se vorbeşte de interpolare, iar dacă se află în afara domeniului de definiţie, se vorbeşte de extrapolare. Punctele x_k în care este cunoscută funcţia f(x) se numesc noduri de interpolare, iar mulţimea lor (x_1 , x_2 , ... , x_n) formează suportul de interpolare.

Algoritmul lui Neville-Aitken

Calculul valorii aproximative a funcţiei într-un punct dat, datorită propagării erorilor de calcul, poate fi efectuat şi fără a apela la formula analitică a polinomului Lagrange. Aceasta se poate efectua utilizînd algoritmul lui Neville-Aitken. Acesta se bazează pe relaţia de recurenţă a polinoamelor lui Lagrange.

Anume, dacă L(x) = ( ) iar pentru un x cunoscut, se notează:

ceea ce reprezintă răspunsul dorit.

Algoritmul se bazează pe următoarea egalitate:

Algoritmul lui Neville-Aitken presupune calculul consecutiv a elementelor evidenţiate din tabelul de mai jos: