Sisteme de ecuații liniare. elemente de grafică

Sisteme de ecuaţii liniare. Elemente de grafică

1. Ecuaţii matriciale

Fie ecuaţiile matriciale A*X = B , respectiv, Y*A = B . Din algebra liniară ştim că soluţiile acestor ecuaţii sunt: X = A-1*B, respectiv, Y = B*A-1. Comenzile MATLAB corespunzătoare sunt:

X = inv(A)*B, respectiv, Y = B*inv(A).

Totuşi, pornind de la ecuaţia de gradul 1 de forma a*x = b , a cărui soluţie este x = b/a în MATLAB au fost introduşi operatorii şi / care calculează soluţia ecuaţiei matriciale în alt mod decât clasica soluţie de mai sus (cea cu inversa). Testele arată faptul că soluţia cu operatorul / este obţinută mult mai rapid decât cu formula clasică, acest fapt devenind observabil atunci când matricele sunt de mari dimensiuni. Astfel pentru matrice de ordinul 1000 soluţia / a fost de 400 ori mai rapidă.

În MATLAB soluţiile ecuaţii sunt:

A*X = B X=AB, respectiv

Y*A = B Y=B/A.

2. Sisteme liniare

Din algebra liniară se ştie faptul că sistemele liniare sunt de trei tipuri:

- sisteme compatibile unic determinate (care au soluţie unică);

- sisteme compatibile nedeterminate (care au o infinitate de soluţii);

- sisteme incompatibile (care nu au nici o soluţie).

Să considerăm un sistem liniar de ordin n (adică are n ecuaţii cu n necunoscute). Să notăm cu A matricea coeficienţilor necunoscutelor, cu x vectorul coloană al necunoscutelor şi cu b vectorul coloană al termenilor liberi. Sistemul liniar capătă o formă matricială A*x = b.

Se numeşte rangul unei matrice ordinul (tipul) determinantului cel mai mare nenul ce se poate forma cu elementele matricei. În MATLAB există funcţia rank(A) care ne calculează rangul matricei A. Mai definim matricea extinsă a lui A, obţinută prin concatenarea orizontală la A cu vectorul b (în MATLAB Aext=[A b]). Acum putem spune despre un sistem liniar de ce tip este:

- dacă rank(A)=rank(Aext)=n este vorba despre un sistem compatibil unic determinat pe care îl rezolvăm cu formula x=Ab;

- dacă rank(A)=rank(Aext)<n este vorba despre un sistem compatibil nedeterminat a cărui infinitate de soluţii va fi determinată sub formă simbolică mai târziu.

- dacă rank(A)<rank(Aext) sistemul este incompatibil şi deci nu are soluţie.

3. Grafice 2D

Pentru reprezentarea grafică a dependenţelor plane, se foloseşte funcţia plot. Funcţia plot are următoarea formă sintactică:

plot(x,y,speclinie) unde

- x şi y sunt vectorii ce definesc punctele de reprezentat. Ei pot fi rezultaţi dintr-un proces de măsurare sau alt mod de determinare practică, sau pot fi calculaţi. In acest caz, x se defineşte ca un vector cu pas constant, iar y se calculează ca o funcţie de x. Atenţie! Funcţia se defineşte cu ajutorul operaţiilor cu punct (de exemplu: x=[1:.2:2], y=2*x.^3).

- speclinie este un şir de caractere intre ` ` şi reprezintă tipul liniei ce uneşte punctele definite de x şi y, markerul cu care se reprezintă punctele definite de x şi y şi culoarea liniei, puse în această ordine.

Tipul de linie poate fi:

Markerul poate fi:

Culoarea poate fi:

Comanda plot se completează cu comenzile pentru titlu, cu etichete pentru axa Ox şi Oy, cu indicarea prin text pe grafic al punctului de minim şi de maxim sau a alte puncte de interes:

>> title ('nume')

>> xlabel('nume axa x')

>> ylabel('nume axa z')

>> text(x,y,'text')

La comanda text valorile numerice indică punctul (x,y) poziţia din fereastra graficului de unde va începe scrierea textului.