Calcul Numeric

1. Sa se gaseasca cel mai mic numar pozitiv u > 0, de forma u = 10m,

astfel ca:

1.0 • u 6= 1.0

unde prin • am notat operatia de adunare efectuata de calculator.

Numarul u poarta numele de precizia masina.

2. Fie numerele a = 1.0, b = u, c = u, unde u este precizia masina

calculata anterior. Sa se verifice ca operatia de adunare efectuata de

calculator nu este asociativa, i.e.:

(a • b) • c 6= a • (b • c)

3. Aproximarea functiilor sin si cos cu ajutorul dezvoltarii 1n serie Taylor:

sin x =

X

n=0

(1)nx2n+1

(2n + 1)!

=

X

n=0

sn , sn =

(1)nx2n+1

(2n + 1)!

(1)

cos x =

X

n=0

(1)nx2n

(2n)!

=

X

n=0

tn , tn =

(1)nx2n

(2n)!

(2)

Sumele de mai sus se folosesc doar pentru valori ale lui x  [0, 2À).

Pentru x 6 [0, 2À) se foloseste periodicitatea functiilor sin si cos:

x = 2kÀ + z , k  Z , z  [0, 2À) , sin x = sinz , cos x = cosz

In continuare vom presupune ca x  [0, 2À). functiile sin si cos se

aproximeaza astfel:

sin x H SN =

XN

n=0

sn , cos x H TN =

XN

n=0

tn

Termenii sn si tn se calculeaza folosind formulele de recurenta:

s0 = x , sn+1 = 

x2

(2n + 2)(2n + 3)

sn n = 0, 1, . . . , N  1

t0 = 1 , tn+1 = 

x2

(2n + 1)(2n + 2)

tn n = 0, 1, . . . , N  1

1

Cum alegem limita superioara de sumare, numarul N? T inand cont

de primul exercitiu, vom opri sumarea atunci cand termenul sn / tn

devine suficient de mic:

|sn| d  , |tn| d  ,  = 10p e u

 reprezinta precizia cu care vrem sa aproximam functiile sin si cos si

este un numar citit de la tastatura si/sau este parametru de intarare a

functiilor sin si cos:

double sin(double x, double ), double cos(double x,double ).

4. Proceduri de citire a vectorilor si a matricilor de la tastatura, din fisier

si automat (folosind functia rand) si proceduri de afisare a vectorilor si

a matricilor.