Transformata Fourier Discretă Bidimensională

I. Scopul lucrării

În acestă lucrare sunt prezentate proprităţile T.F.D. Bidimensionale şi cu ajutorul unui program ce implementează această transformare se vizualizează imaginile prelucrate.

II. Noţiuni teoretice

Transformata Fourier Discretă Bidimensională se aplică funcţiilor continue de două variabile astfel : discretizând uniform funcţia continuă bidimensională f(x,y) pe cele două dimensiuni x şi y, cu distanţele între eşantioane x şi y, obţinem secvenţa :

{ f(x0+xx, y0+yy) },

unde x şi y iau valori discrete x=0,1,...,M-1 şi y=0,1,...,N-1.

Utilizând notaţia

f(x,y)=f(x0+xx, y0+yy),

putem defini transformata Fourier discretă bidimensională directă

,pentru u=0, 1,..., M-1; v=0,1,...,N-1,

şi transformata Fourier discretă bidimensională inversă

,pentru x=0,1,..., M-1; y=0,1,...,N-1.

Dacă în domeniul transformat distanţa între eşantioane este u pe direcţia u şi v pe direcţia v, atunci se poate demonstra că :

şi

De regulă eşantionarea pe două dimensiuni se face astfel încât numărul de eşantioane pe direcţia x să fie egal cu numărul de eşantioane pe direcţia y, adică M=N.

Dacă R(u,v) şi I(u,v) sunt partea reală şi respectiv partea imaginară a transformatei F(u,v), atunci spectrul Fourier este :

, pentru u,v=0,1,...,N-1

iar faza :

şi energia :

Proprietăţi :

- reprezentarea liniară sau logaritmică

- separabilitatea-calculul T.F.D.B. se poate reduce la calculu a două T.F.D.U.

- periodicitatea şi simetria conjugată

- translaţia

- rotaţia

- valoarea medie

III. Desfăşurarea lucrării

Se foloseşte programul TURIF cu care se aplică transformarea Fourier discretă bidimensională cu reprezentare liniară şi logaritmică unor imagini cu extensia *.IMG , cu 256x256 pixeli şi cu 256 tonuri de gri.

Transformata este translatată în centrul imaginii, adică cu N/2 pe ambele dimensiuni.

1)Imaginea CASA.IMG 256

Originalul

Reprezentare liniară Reprezentare logaritmică