Distribuția Maxwell după Viteze

1. Scopul lucrarii

Lucrarea are drept scop studiul distributiei dupa viteze pentru un colectiv statistic reprezentativ format din 400 de bile. Miscarea bilelor este considerata echivalenta cu miscarea moleculelor unui gaz ideal aflat la echilibru termic.

Graficul functiei de distributie dupa viteze obtinut experimental se va compara cu cel teoretic corespunzator functiei de distributie dupa viteze Maxwell. Se vor calcula doua marimi de interes fizic: viteza cea mai probabila si viteza patratica medie.

2. Teoria lucrarii

Teoria cinetica a gazelor urmareste sa determine parametrii macroscopici ai gazelor ca presiunea, temperatura sau volumul luând în considerare miscarea si compozitia moleculara. În esenta, teoria postuleaza ca presiunea nu se datoreaza respingerii statice între molecule ci coliziunii între moleculele ce se misca cu o anumita viteza.

Consideram un sistem compus dintr-un numar mare N de particule. În functie de natura sistemului, fiecare particula se poate gasi într-una din diferitele stari energetice posibile: astfel încât la un moment dat particule au energia , energia , etc. Spunem ca numerele formeaza o partitie. ...,,321EEE1N1E2N2E,...,,321NNN

Numarul total de particule este:

£==+++=1321...iiNNNNN

si energia totala a sistemului este:

£==+++=1332211...iiiENENENENE.

Pentru un sistem izolat (asupra caruia nu se exercita nicio actiune din exterior) atât numarul total de particule cât si energia totala se conserva: const1==£=iiNN, respectiv . const1==£=iiiENE

Fiecare stare macroscopica a sistemului de N particule poate fi descrisa prin mai multe partitii diferite; altfel spus exista mai multe stari microscopice (microstari) compatibile cu o macrostare data. Totusi, pentru fiecare macrostare a sistemului exista o partitie care tinând cont de conditiile fizice ale sistemului de particule (numar de particule, energie totala, structura fiecarei particule), reprezinta partitia cea mai probabila. Când se realizeaza partitia cea mai probabila, sistemul se afla în echilibru statistic si ramâne în aceasta stare daca nu este perturbat din exterior. Un sistem în echilibru statistic are o temperatura T bine determinata si este de asemenea în echilibru termic. În acest caz putem considera echivalente notiunile de echilibru statistic si echilibru termic.

Principalul scop al mecanicii statistice este gasirea partitiei celei mai probabile (descrisa matematic de legea de distributie) pentru un sistem izolat de compozitie data si

1

deducerea proprietatilor macroscopice ale acestuia pornind de la acesta lege de distributie. Una din cele mai des utilizate legi de distributie este legea Maxwell-Boltzmann, conform careia, pentru sistem aflat în echilibru statistic la temperatura T, numarul de particule care au energia este: iNiE

kTEiiAeN=

unde: k este constanta lui Boltzmann si A o constanta care depinde de temperatura, de numarul total de particule si de masa particulelor sistemului.

Daca particulele nu interactioneaza între ele si nu se afla în niciun câmp de forte extern, reprezinta energia cinetica a particulelor. iE

Partitia dupa energia cinetica, adica numarul de particule cu energia cinetica cuprinsa în intervalul () este: NdcccEEEd,+

ckTEcEeEkTNNcd12d2123Ÿ žœ›=À.

Înlocuind în aceasta relatie expresia energiei cinetice: 22mvEc= si tinând cont de faptul ca: obtinem partitia Maxwell dupa viteze: vmvEcdd=

vvekTmNNkTmvd24d22232Ÿ žœ›=ÀÀ (1)

care reprezinta numarul de particule având modulul vitezelor cuprins în intervalul: . ()vvvd,+

Viteza cea mai probabila a particulelor este viteza pentru care functia de distributie: pv

()2223224vekTmvfkTmvŸ žœ›=ÀÀ (2)

este maxima si are valoarea: