Exemplu de Proiectare a Regulatoarelor Numerice

Problema 3

Fie un process continuu cu funcţia de transfer

(1)

Să se proiecteze regulatorul numeric prin alocare poli-zerouri pentru o buclă de reglare numerică care să asigure eroare staţionară nulă la intrare treaptă, suprareglajul impus maxim şi durata maximă a regimului tranzitoriu

Soluţie

Calculăm mai întâi transformata z a părţii fixate considerând un element de reţinere de ordin zero şi perioada de eşantionare T=1s.

Funcţia de transfer apărţii fixate cu tot cu element de reţinere este:

(2)

Transformata z a părţii fixate este deci:

(3)

Pentru a putea folosi tabelele de corespondenţă înte transformata Laplace şi Z, descompunem în fracţii simple:

(4)

Identificând găsim

A=10; B=-16,667; C=6,667 (5)

Folosind tabelele mai sus menţionate găsim transformata Z de forma:

(6)

Aducând la acelaşi numitor şi făcând calculele găsim:

(7)

Având în vedere complexitatea calculului, din punct de vedere numeric ste indicată verificarea:

(8)

pentru calculul transformatei Z a oricărei funcţii de transfer, Kf fiind factorul de amplificare. În exemplul nostru se constată că:

(9)

ceea ce atestă corectitudinea calculului.

Ţinând cont de relaţia de definiţie a funcţiei de transfer în z:

(10)

unde şi reprezintă transformata Z a ieşirii şi respectiv a comenzii, se poate obţine ecuaţia recursivă a părţii fixate:

0,19897725 uk-1+0,15764221 uk-2=yk-1,425226141 yk-1+0,496585302 yk-2 (11)

Rezultă:

yk = 0,19897725 uk-1+0,15764221 uk-2+1,425226141 yk-1-0,496585302 yk-2 (12)

Pentru sinteza regulatorului numeric este necesară satisfacerea performanţelor impuse de o funcţie cu doi poli şi un zero în planul z, care să reprezinte funcţia de transfer discretă în buclă închisă a sistemului de reglare numeric.

Pasul 1

Cu valoarea se determină din figura alăturată perechi de valori , unde este unghiul care intervine în găsirea zeroului.

Din rezultă prechile:

(13)

Varianta I

Alegem prima pereche şi

Pasul 2

Cu ajutorul relaţiei ce dă valoarea aproximativă a duratei regimului tranzitoriu:

unde este pulsaţia naturală; se determină această pulsaţie:

Pasul 3

Pentru folosirea diagramelor ce reprezintă locul de constant şi locul constant în planul z este bine să rotunjim valoarea lui :

Pentru găsirea polilor din planul z al funcţiei nu vom folosi locurile geometrice mai sus menţionate ci relaţia de legătură între polii din planul s şi cei din planul z.

(14)

unde

(15)

Rezultă relaţiile:

(16)

Deci:

(17)

Din (16) şi (17) rezultă valorile polilor din planul z:

(18)

Pasul 4

Vom determina valoarea zeroului ce intervine în cu ajutorul polilor găsiţi şi valorii alese la pasul 1. Notând cu z0 valoarea zeroului, este mărimea unghiului dintre dreptele Db şi Dc din figura de maii jos: