Structura de inel este o extensie a structurii de grup, obținută prin introducerea unei noi operații algebrice care este compatibilă cu prima lege și are anumite proprietăți.
Definiție. Se numește inel o mulțime nevidă A înzestrată cu două legi de compoziție, prima notată aditiv (+) iar a doua notată multiplicativ (∙) cu proprietățile:
1) (A, +) - grup comutativ
2) Operația ∙ are proprietățile:
2.1. este asociativă: (xy)z = x(yz), () x, y, z A
2.2. este distributivă la stânga și la dreapta față de prima lege:
(a+b) ∙ c = ac + bc, () a, b, c A
c ∙ (a+b) = ca + cb, () a, b, c A.
Notam un inel A înzestrat cu operațiile “+” și “ ∙ ” cu (A, +, ∙).
Definiție. Dacă a doua lege a inelului admite element neutru, notat de obicei cu 1, spunem că inelul A este unitar.
Definiție. Un inel A pentru care legea a doua este comutativă se numește inel comutativ.
Definiție. Un inel care conține un singur element, adică A = {a}, unde a + a = = a ∙ a = a se numește inel nul, iar un inel care admite cel puțin două elemente se numește inel nenul.
Observație. Dacă notăm cu 0 elementul neutru de la prima lege și cu 1 elementul neutru de la legea a doua, atunci în orice inel nenul avem: 1 0.
Definiție. Dacă (A, +, ∙) este un inel unitar, elementele inversabile în raport cu a doua lege se numesc unitățile inelului, iar mulțimea tuturor unităților inelului A se notează U(A).
U(A) = {a A, a inversabil în A în raport cu operația ∙ }
Observație. 1 U(A) în orice inel nenul și unitar.
Proporziție. Dacă (A, +, ∙) este un inel unitar, atunci (U(A), ∙) este un grup numit grupul elementelor inversabile ale inelului A.
Demonstrație. Fie a, b U(A) - () a-1, b-1 U(A).
Să demonstrăm că a ∙ b U(A). (a ∙ b)-1 = b-1 ∙ a-1 U(A) - a ∙ b U(A).
Evident 1 U(A).
Fie a U(A) - () a-1 U(A) si (a-1)-1 = a U(A) - a-1 U(A) - (U(A), ∙) - grup.
Exemple. 1. În inelul (Z, +, ∙) al numerelor întregi singurele elemente inversabile în raport cu operația de înmulțire sunt 1 și -1 - U(Z) = {-1, 1}.
2. Fie Z[i] = {a + ib| a, b Z}. (Z[i], +, ∙) este un inel comutativ, unitar numit inelul întregilor lui Gauss. Avem U(Z[i]) = {1, -1, i, -i}, deoarece: fie z = a+ib Z[i] inversabil în Z[i] - () u = c + id Z[i] astfel încât z ∙ u = 1 (a + ib)(c+ id) = 1
ac - bd + i(ad + bc) = 1
- - a(c2 + d2) = c - a = ,
b = .
Dar a, b Z. Deoarece a, b sunt subunitare pot lua doar valorile -1, 0, 1.
Dacă c = 0 - a = 0, b = - Z - d = 1 - b = 1.
Dacă d = 0 - b = 0, a = Z - c = 1 - a = 1 - elementele inversabile sunt 1 și i.
3. (Mn(R), +, ∙) adică inelul matricelor pătratice de ordin n cu elementele reale, în raport cu operația de adunare și înmulțire a matricelor este un inel necomutativ, unitar, cu unitatea inelului In, adică matricea unitate. Elementele inversabile ale acestui inel sunt matricele inversabile, adică acele matrici care au determinantul nenul.
U(Mn(R)) = {A| det A 0}.
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.