Determinanți

Notiunea de determinant este strans legata de cea de matrice,ambele fiind concepte fundamentale in algebra.

Familia determinantilor este atasata familiei matricelor patratice, fiecarei astfel de matrice putandu-i-se atasa un determinant. Daca A este o matrice patratica, determinantul atasat ei, notat det A este un element unic determinat, corespondenta fiind de forma A- det A. Corespondenta se poate realiza numai in acest sens, posibilitatea ca mai multe matrice patratice, chiar de ordine diferite, sa aiba acelasi determinant, este nula.

Fie A= o matrice patratica. Vom asocia acestei matrici un numar notat det(A) numit determinantul matricii A.

- Determinantul de ordin n<4

Definitie : Daca A= este o matrice patratica de ordinul intai, atunci

det(A) =

Definitie : Fie o matrice patratica,de ordinul 2 cu elemente din C. Numarul notat cu si definit prin se numeste determinantul matricei A sau determinantul de ordinul 2.

Deteminantul lui A se mai noteaza cu det A. Produsele a11 a22 si a12 a21 se numesc termenii determinantului de ordinul doi. Liniile (coloanele) lui A se numesc liniile (coloanele) determinantului de ordinul doi.

Din definitia determinantului de ordinul 2 rezulta ca det A se obtine scazand din produsul elementelor de pe diagonala principala produsul elementelor de pe diagonala secundara a matricei A.

Exemple :

Observatii: 1.Determinantul de ordinul 2 defineste o functie

Det:M2 (C)- C, A- detA.

2.Daca A este din M2 (Z) respectiv M2 (Q), M2 (R), M2 (C), atunci det A Q, det A R, det A C.

Definitie : Fie A= o matrice patratica de ordinul 3 cu elemente din C.

Numarul notat cu det A sau cu si definit prin

= + ( 1)

se numeste determinantul matricei A sau determinantul de ordinul 3.

Cele sase produse din (1) se numesc termenii lui det A. Liniile (coloanele) lui A se numesc liniile (coloanele) lui det A. Factorii produselor din (1) sunt situati in linii si coloane diferite. In plus, orice produs de elemente din linii si coloane diferite este termen diferit al dezvoltarii determinantului de ordinul 3.

Pentru calcularea lui vom arata ca aceasta se poate face cu ajutorul unor determinanti de ordinul 2.

Intr-adevar, observam ca, grupand termenii, avem :

Det A=a11(a22a33 - a23a32) + (-a21a3 - a23a31) + (a21a32 - a22a31), adica

det A = a11

In aceasta suma, primul termen este produsul dintre factorul a11 si determinantul care rezulta din cel initial, daca se suprima linia si coloana corespunzatoare acestui factor

Pentru rezolvarea determinantilor de ordinul 3 se pot folosi mai multe reguli :

- Regula lui Sarrus

Pentru a calcula det A vom mai scrie liniile intai si doi sub cele ale det A. Vom obtine un tablou cu 5 linii. Apoi se face produsul elementelor de pe diagonale:

- produsul elementelor de pe o diagonala descendenta este cu semnul plus (avem trei astfel de produse: ).

-produsul elementelor de pe o diagonala ascendenta este cu semnul minus (avem trei astfel de produse: ).

Suma celor sase produse da valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeste ,,regula lui Sarrus".

=

- Regula triunghiului

Determinantul de ordin trei are in dezvoltarea sa sase termeni, trei cu semnul plus si alti trei cu semnul minus.

Primul termen cu plus se gaseste inmultind elementele de pe diagonala principala, iar ceilalti doi, inmultind elementele situate in varfurile celor doua triunghiuri care au o latura paralela cu cu diagonala principala. Termenii cu minus sunt : produsul elementelor de pe diagonala secundara si doua produse de elemente situate in varfurile a doua

- Manual pentru cl a-XI-a M1, Editura GIL Zalau

Autori: Dorin Andrica, Ioan Purdea, Simion Ursu, Dorel Duca, Octavian Agratini, Gheorghe Lobont.

- Manual pentru cl a-XI-a M1, Editura Aramis

Autor: Ion Mihai.

- Culegere:Elemente de algebra liniara si geometrie analitica cl a-XI-a, Editura Carminis

Autori: Marius Burtea, Georgeta Burtea.

- Manual pentru cl a-XI-a, Editura Didactica si Pedagogica R.A. Bucuresti

Autori: C. Nastasescu, I. Stanescu. C. Nita.

- Notite

- Internet