¡ Cursul 2
Rezolvarea numerica a ecuatiilor algebrice
¡ Rezolvarea numerica a ecuatiilor algebrice
¡ metoda injumatatirii intervalului
¡ metoda aproximarilor succesive
¡ metoda lui Newton
¡ Rezolvarea numerica a ecuatiilor algebrice
Fie data functia f: R®R. Se doreste determinarea uneia sau mai multor radacini ale ecuatiei f(x)=0.
Exista cazul simplu pentru care se poate exprima o solutie a ecuatiei pornind de la functie, de exemplu cazul cazul ecuatiei de gradul 2:
ax2 + bx + c =0 pentru care solutia a este:
sau
¡ Rezolvarea numerica a ecuatiilor algebrice
Pentru diferitele metode vom presupune ca f este o functie continua si ca exista un interval [a, b] unde ecuatia are o singura radacina pe care o vom nota a.
Pentru a alege intervalul [a,b] se poate:
¨ fie utiliza metoda grafica (trasarea curbei) si pozitionarea solutiei de unde alegerea lui [a,b],
¨ fie utiliza metoda algebrica: metoda separarii radacinilor utilizând teorema valorilor intermediare.
¡ Definitie
f(x) admite o radacina separata în Îû a,b é daca si numai daca a este unica.
De asemenea, a separa radacinile lui " f(x)=0 " înseamna determinarea intervalelor û a,b éîn care fiecare
radacina este unica.
Pentru aceasta se poate utiliza teorema valorilor intermediare:
¡ Teorema valorilor intermediare:
Daca f este continua în [a,b]
si f(a)*f(b) < 0
atunci $ aÎû a,b é / f(a) = 0.
Si în plus daca f este monotona pe [a,b] atunci a este unica în [a,b].
Exemplu:
Separati radacinile ecuatiei x3 3x +1 = 0 în intervalul ½3 , 3 ½.
¡ Metoda injumatatirii intervalului:
I.1 Conditiile de convergenta ale metodei:
Metoda înjumatatirii intervalului converge daca :
1. f este continua în [a,b]
2. f(a)*f(b) < 0
3. a separata în [a,b ].
În aceasta metoda se definesc seriile urmatoare:
(an)nÎN , (bn)nÎN (xn)nÎN pana cand (xn)nÎN converge catre a.
Pentru aceasta se pune:
a0 = a, b0 = b, si se calculeaza
Cursuri date de profesor in format electronic, bilete de examen
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
