CAP. 1 CALCULUL PROBABILITĂŢILOR
1.1 EVENIMENTE ŞI PROBABILITĂŢILE LOR
Obiective :Însuşirea de către studenţi a conceptelor de eveniment , probabilitate
simplă şi condiţionată a evenimentelor , variabilă aleatoare şi indicatori asociaţi ,
vector aleator şi indicatori asociaţi , variabile aleatoare clasice discontinue şi
continue precum şi a legilor-limită .
Conţinut :
1.1 Evenimente şi probabilităţile lor
1.1.1 Evenimente
1.1.2 Probabilităţile evenimentelor
1.1.3 Probabilităţile condiţionate ale evenimentelor
1.2 Variabile aleatoare
1.2.1 Densitatea de probabilitate şi funcţia de repartiţie
1.2.2 Indicatori numerici
1.2.3 Funcţia caracteristică
1.3 Vectori aleatori
1.3.1 Densitatea de probabilitate şi funcţia de repartiţie
1.3.2 Indicatori numerici
1.4 Variabile aleatoare clasice discontinue
1.4.1 Variabila binomială
1.4.2 Variabila hipergeometrică
1.4.3 Variabila Poisson
1.5 Variabile aleatoare clasice continue
1.5.1 Variabila uniformă
1.5.2 Variabilele exponenţială, Weibull, Erlang
1.5.3 Variabila normală
1.5.4 Variabilele Hi Patrat, Student, Fisher
A. Variabila Hi Patrat (2)
B. Variabila Student(t)
C. Variabila Fisher (F)
1.5.5 Vectorul aleatoriu normal
1.6 Legi-limită
1.7 Rezumat
1.8 Întrebări
1.9 Bibliografie
Cuvinte cheie : eveniment, probabilitate, probabilitate condiţionată ,
variabilă aleatoare , funcţie de repartiţie şi densitate de probabilitate,
media şi varianţa unei variabile aleatoare , funcţia caracteristică a unei variabile
aleatoare , vector aleator , covarianţa şi coeficientul de corelaţie liniară pentru un
vector aleator , variabila binomială , Poisson , exponenţială,normală , hi
patrat,Student,Fisher,vectorul aleator normal .
1.1.1 Evenimente
Un experiment este aleator dacă rezultatele sale nu pot fi prevăzute cu exactitate, fiind sub influenţa întâmplării.
Exemple:
1) Apariţia unei feţe la aruncarea monezii;
2) Apariţia unei feţe la aruncarea zarului;
3) Apariţia unei bile albe la extragerea din urnă cu bile albe şi negre.
Totalitatea rezultatelor posibile ale unui experiment aleator se numeşte spaţiu de evenimente elementare şi se notează cu Ω.
Mulţimea părţilor (submulţimilor) lui Ω se notează cu P(Ω).
Exemple:
1) La aruncarea monezii avem Ω = {stemă, ban};
2) La aruncarea zarului avem Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
Dacă mulţimea Ω este finită sau numărabilă (şir), orice submulţime A Ω se numeşte eveniment.
Dacă mulţimea Ω este nenumărabilă (de exemplu Ω = R), vom numi evenimente numai submulţimile A Ω a căror familie formează o – algebră K P(Ω) care se defineşte prin condiţiile:
1) Ω К
2) Ai К pentru i I
3) A К CA К
CA se numeşte eveniment contrar cu A şi se mai notează cu Ā.
Exemplu: Dacă A = “apariţia unei feţe pare la aruncarea zarului” atunci CA = “ apariţia unei feţe impare la aruncarea zarului”.
Ω ca eveniment, se numeşte evenimentul sigur iar CΩ = Ø se numeşte evenimentul imposibil.
Incluziunea A B se numeşte implicare a evenimentului B de către evenimentul A: realizarea lui A determină realizarea lui B.
Exemplu. Dacă A = “apariţia feţei 6 la aruncarea zarului” şi B = “apariţia unei feţe pare la aruncarea zarului” avem A B.
Egalitatea A = B se numeşte echivalenţă a evenimentelor A şi B şi are loc dacă A B şi B A.
Evenimentul B este elementar dacă A B A = Ø sau A = B.
Exemple
1) Apariţia unei anumite feţe la aruncarea unei monezi sau zar este eveniment elementar;
2) Apariţia unei bile albe la extragerea din urnă a unei bile este eveniment elementar.
Dându-se două evenimente A şi B, reuniunea lor se notează cu A B şi se citeşte “A sau B” fiind un eveniment compus care se realizează dacă se realizează măcar unul dintre evenimentele A, B.
Dându-se două evenimente A şi B, intersecţia lor se notează A B şi se citeşte “A şi B” fiind un eveniment compus care se realizează dacă ambele evenimente A, B se realizează.
Exemplu
Fie A evenimentul că becul 1 funcţionează la un moment dat şi B evenimentul că becul 2 funcţionează în acelaşi moment.
A B este evenimentul că trece curentul prin circuitul paralel care conţine becurile 1 şi 2.
A B este evenimentul că trece curentul prin circuitul serie care conţine becurile 1 şi 2.
Evenimentele A, B sunt incompatibile dacă nu se realizează simultan adică A B = Ø.
În caz contrar A şi B se numesc compatibile.
Exemple de evenimente incompatibile
1) Apariţia de feţe diferite la o aruncare cu moneda sau zarul;
2) Apariţia de culori diferite la extragerea unei bile din urnă.
Exemple de evenimente compatibile
1) Nimerirea unei ţinte de doi trăgători care ochesc asupra ei;
2) Funcţionarea la un moment dat a două becuri într-un circuit electric.
Facultatea de Management
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
