Elemente de Teoria Probabilităților

1. Experiment. Eveniment

- Experiment (probă) - orice realizare a unui complex de condiţii bine precizate.

În teoria statistică, după natura condiţiilor în care se desfăsoară experimentul, deosebim:

- experimente deterministe, caz în care condiţiile definesc în mod cert rezultatele posibile;

- experimente aleatoare, când condiţiile nu generează, în mod cert, rezultatele.

Un experiment aleator se caracterizează prin aceea că:

- nu are caracter determinist, adică în condiţii identice de realizare, rezultatele experimentului pot fi diferite;

- are un caracter statistic, adică există o stabilitate a frecvenţelor rezultatelor - cu cât numarul repetărilor experimentului creşte, frecvanţa cu care se produce un anume rezultat se gaseşte în jurul unei valori, valoare ce reprezintă şansa de realizare a sa.

- Eveniment – orice situaţie legată de o experienţă aleatoare, despre care se poate spune cu certitudine că s-a realizat sau nu.

Eveniment simplu (elementar) - evenimentul care se poate realiza dintr-o singură probă.

Eveniment compus – formează partiţii cu cel puţin două elemente simple.

Fiecărei experienţe aleatoare i se asociază, întodeauna, două evenimente:

- evenimentul sigur (evenimentul care se realizează prin fiecare din probele experienţei), notat cu Ω;

- evenimentul imposibil (evenimentul care nu se realizează, oricare ar fi proba experienţei), notat cu Ф.

- Alte clase de evenimente legate de o experienţă aleatoare:

- evenimente contrare (complementare) - dacă nerealizarea unuia implica realizarea celuilalt.

Notaţie: Ā (sau CA)

- evenimente incompatibile (disjuncte) - dacă nu există cazuri (probe) favorabile realizarii lor simultane.

- evenimente compatibile – dacă există cazuri (probe) prin care se realizează simultan.

2. Evenimente independente

Definiţie: Două evenimente A,B se numesc independente dacă realizarea unuia nu este condiţionată de realizarea celuilalt, adică

P(A|B)=P(A), dacă P(B) 0 şi

P(B|A)=P(B), dacă P(A) 0.

În caz contrar ele se numesc dependente.

Observaţie: Din formulele P(A|B) şi P(B|A) rezultă:

P(A B)=P(A)*P(B) A, B independente. Relaţia devine valabilă şi pentru cazul general cu evenimentele , independente două câte două , , astfel:

3. Câmp de evenimente

Definiţie: O familie ( ) de submulţimi ale lui ( P( )) cu:

i)

ii) , I cel mult numărabilă se numeşte:

- corp de părţi - dacă I este finită

- -corp de părţi (corp borelian) - dacă I este infinită

Perechea ( ) se numeşte câmp ( -câmp) de evenimente sau spaţiu probabilizabil.

Observaţie: Orice -corp de părţi este un corp de părţi.

Definiţie: Un sistem de evenimente se numeşte sistem complet de evenimente dacă S este o partiţie din

4. Operaţii cu evenimente

a) Reuniunea a două evenimente A şi B (notat A B).

Reprezintă evenimentul a carei realizare constă în realizarea a cel puţin uneia dintre evenimentele A, B.

b) Intersecţia a două evenimente A şi B (notat cu A B).

Presupune realizarea simultană a celor două evenimente.

Observaţie :

Cele două operaţii de mai sus se pot extinde la cazul unei familii de evenimente {A }iєI , I cel mult numarabilă. Deci, putem considera şi

Econometrie