Integrare și derivare numerică

Integrare şi derivare numerică.

Ne propunem să calculăm aproximativ valorile

în condiţiile în care

funcţia este continuă pe intervalul [a, b] şi derivabilă în x0

primitiva F nu este cunoscută

funcţia f este cunoscută numai prin valorile f(xi) pe care le ia într-un număr restrîns de puncte xi, i=0:N

Integrare şi derivare numerică

Definim o metodă aproximativă de integrare ca

Metoda aproximativă de integrare este slab convergentă dacă

Teoremă Condiţia necesară şi suficientă ca metoda de integrare IN[f] să conveargă slab către I[f] se exprimă prin relaţiile

a) există M > 0 astfel încât

pentru toţi N=1,2,...

b) pentru toţi k=0,1,...

Metode de tip Newton-Cotes.

funcţia pondere w:(a,b)R+, nu modifică problema, întrucât putem lua g(x)=f(x)*w(x), iar RN este eroarea (sau restul) formulei aproximative de integrare.

Metodele de tip Newton-Cotes se bazează pe integrarea polinomului de interpolare, utilizând ca suport al interpolării nodurile echidistante în intervalul [a,b], adică

Metodele de integrare de tip Fejer integrează polinomul de interpolare folosind ca noduri xiN - rădăcinile polinomului ortogonal pN(x), definit relativ la ponderea w(x)

Metode de tip Newton-Cotes.

Coeficienţii aiN se determină impunând ca formula aproximativă să fie exactă (R=0),dacă f aparţine unei anumite clase de funcţii (de exemplu polinoame de grad N, fN).

Cum funcţia este cunoscută numai în nodurile xi, i=0:N, o vom aproxima prin polinomul ei de interpolare Lagrange

Metode de tip Newton-Cotes.

Printr-o schimbare liniară de variabilă, coeficienţii aiN pot fi făcuţi independenţi de intervalul de integrare; ei sunt totuşi inutilizabili, fiind de valori mari şi de semne contrarii, ceea ce conduce la instabilitate numerică.

Expresia erorii în metodele de tip Newton-Cotes se deduce integrând expresia erorii din polinomul de interpolare: f(x)=PN(x)+EN(x),