Descompunerea Valorilor Singulare

Descompunerea valorilor singulare.

este o metodă eficientă şi sigură de calcul a rangului unei matrice

este o metodă de rezolvare a problemei generale a celor mai mici pătrate

Rangul unei matrice este numărul maxim de coloane liniar independente ale matricei :

rang(A)=dim(Im A)

rang(A)=rang(AT)

Rangul unei matrice este dimensiunea submatricei pătrate maxime a matricei.

Matrice echivalente Două matrice A,BCmxn sunt echivalente, dacă există matricele nesingulare SCmxm şi TCnxn astfel încât B=SAT.

Descompunerea valorilor singulare

Dacă S şi T sunt unitare, atunci A şi B sunt unitar echivalente (în cazul real avem matrice ortogonal echivalente).

Pentru o matrice diagonală, rangul este egal cu numărul elementelor diagonale nenule.

Teorema DVS (Descompunerii Valorilor Singulare)

Dacă ACmxn, atunci există matricele unitare UCmxm şi VCnxn astfel încât

cu =diag(1,2,…,r) şi 12 …  r>0

A=UVH defineşte descompunerea valorilor singulare ale matricei A.

Descompunerea valorilor singulare.

Valori singulare sunt numerele i, i=1:p, p=min(m,n)

i>0, i=1:r

i=0, i=r+1:p

Vectori singulari la stânga uj=U.ej

Vectori singulari la dreapta vj=V.ej

A= UVH AV=U Avj=juj

AH=VUH AHU=V AHuj=jvj

Demonstraţie:

Dacă A=0  r=0, U=Im, V=In, =0

Dacă A0  v1Cn: ||A||2=max||x||2=1||Ax||2=||Av1||2 şi

Descompunerea valorilor singulare.

Avem ||u1||2=1.

Completăm vectorii u1 şi v1 pentru a forma matrice unitare:

U1=[u1 U1] V1=[v1 V1]

u1HAv1=u1Hu1||A||2=||A||2=1

U1HAv1=U1Hu1||A||2=0

Transformarea unitară conservă norma euclidiană:

||(1)||2=||U1HAV1||2=||A||2=1