Capitolul 1 Modele matematice
Sistemele digitale se dezvoltă şi se vor dezvolta pe baza progeselor tehnologice, tot mai accelerate în ultimii ani, dar şi pe baza asimilării de noi modele matematice.
Modelele matematice de bază în elaborarea acestei lucrări sunt:
- semnalele digitale
- algebra booleeană
1.1. Semnale digitale
Prin noţiunea de sistem se înţelege un model matematic al unui proces fizic oarecare. Sistemul conţine o colecţie de obiecte convenabil aranjate şi cuplate care comunică cu exteriorul prin mărimile de cauză şi cele de efect denumite în sistem variabile de intrare şi respectiv variabile de ieşire. Sistemul este strâns legat de evoluţia în timp a unei mulţimi de variabile capabile să determine condiţiile de desfăşurare a procesului modelat. Legăturile dintre entităţile interne ale sistemului sunt cunoscute în model prin cunoaşterea la toate momentele de timp a unei mulţimi de variabile denumite variabile de stare. Observaţiile asupra procesului fizic modelat se fac prin măsurarea intrărilor şi ieşirilor corespunzătoare modelului. În continuare se vor nota prin variabilele de intrare, prin variabilele de stare şi prin variabilele de stare ale sistemului. Momentele de timp pe care este definită evoluţia sistemului se va considera ca fiind mulţimea Dacă este o mulţime oarecare fixată, atunci prin semnal definit pe mulţimea cu valori în se înţelege orice aplicaţie:
care asociază fiecărui moment un element din Conceptul de sistem este strâns legat de cel de semnal, o clasificare a sistemelor poate fi făcută în funcţie de comportarea lor la diverse semnale de intrare ( comenzi ) şi după răspunsul corespunzător. Deoarece elementele mulţimilor şi sunt funcţii de timp ele pot fi considerate drept semnale.
Dacă mulţimea este muţimea sistemul se denumeşte sistem digital. În toate procesele fizice semnalele sunt funcţii mărginite cu valori în de clasă a funcţiilor continui. Pentru un sistem cu m = 1 şi p = 1 spaţiul fazelor procesului se pune în corespondenţă cu spaţiul fazelor modelului matematic prin separarea valorilor semnalelor de intrarea şi de ieşire în respectiv câte două benzi de valori între care există o bandă de valori interzisă, aşa cum se indică în figura 1.1.
Fig.1.1-Reprezentarea spaţiului fazelor în şi
Banda interzisă este introdusă pe fiecare proiecţie a spaţiului cu rolul de discriminare netă între stările semnalului continuu. Aplicaţia spaţiului pe spaţiul în este o injecţie care nu este peste tot definită. Pentru excaladarea acestui impediment se introduce convenţia din figura 1.2. valabilă pentru toate tipurile de semnale.
Fig.1.2: Trecerea de la semnalul continuu la semnal
digital ( binar )
Semnalele continui din banda inferioară ( de valori mai mici ) iau valori în intervalul şi le corespunde reprezentarea iar semnalele continui din banda superioară ( de valori mai mari ) iau valori în intervalul fiind reprezentate de Deoarece , mulţimea suport a semnalelor continui, este o mulţime cu ordine totală convenţia anterioară nu depinde de polaritatea semnalului. Pentru semnale pozitive convenţia se numeşte “logică pozitivă “.
Intervalul de timp tTLH se numeşte timp de tranziţie a semnalului din starea L,0 în starea H,1; intervalul de timp tTHL se numeşte timp de tranziţie a semnalului din starea în starea ; intervalul de timp tPHL se numeşte timp de propagare a semnalului din starea în starea
1.2. Algebra booleeană
Algebra booleeană se introduce prin definirea a trei entităţi din care se compune şi anume mulţimea suport a algebrei booleene considerată a fi în continuare drept :
,
2 operatori binari : + ( “ sau “ ) , * ( “şi “ ) ,
1 operator unar : – ( “ nu “ ).
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
