Ecuațiile Poisson și Laplace

Aplicând relaţiei (I.49) operatorul divergenţă, rezultă:

Operatorul se numeşte laplacean şi are formula:

Ecuaţia:

(I.50)

se numeşte ecuaţia Poisson.

Dacă ρ = 0 ecuaţia (I.50) devine:

(I.51)

numită ecuaţia Laplace.

Cu ajutorul ecuaţiei Poisson se poate cunoaşte potenţialul electric dacă se dă distribuţia surselor sale.

Legea lui Coulomb, legea lui Gauss precum şi ecuaţia lui Poisson sunt forme diferite de descriere matematică ale aceluiaşi grup de fenomene: fenomenele electrostatice. Aceste legi au fost determinate în cadrul sistemelor de sarcini electrice aflate în repaus şi nu există nici un motiv teoretic să admitem că ele sunt valabile şi pentru sarcinile electrice aflate în mişcare. Pentru a verifica acest lucru este necesar să se facă apel la noi experienţe în care sarcinile electrice să fie în mişcare.

3. g. Aplicaţii

Problema 3. 1.

Să se determine potenţialul câmpului electric în cazul unei sfere de rază a uniform încărcată cu densitatea volumică ρs a sarcinii electrice, sfera având permitivitatea ε0.

Dacă punctul în care calculăm potenţialul este în exteriorul sferei folosim formula:

În coordonate sferice:

cu

Fig. 38 Referitor la problema 3. 1.