Transfer de căldura și masă

3.4 CONDUCTIE TERMICA IN REGIM STATIONAR

3.4.1 Prin corpuri fara izvoare interne de caldura

3.4.1.2. Conductie termica in regim stationar prin pereti cilindrici

Se considera un perete cilindric (Fig. 2.1.), cu raza interioara r1, raza exterioara r2 si

lungimea mult mai mare decat razele r1 si r2, alcatuite dintr-un material cu conductivitate termica

constanta.Temperatura suprafetei interioare este t1 iar a suprafetei exterioare t2. Se considera

tp1>tp2.

Suprafetele izoterme sunt suprafete cilindrice iar propagarea caldurii este unidirectionala

(pe directia razei.)

Fig.2.1. Conductia termica printr-un perete cilindric omogen

Ecuatia diferentiala a conductiei:

?t

= x ?

l

N ? t

a

q 1

t v

.

2 (1)

pe baza ipotezelor:

1. regim stationar : 0

t =

?t

?

2. fara surse interne de caldura: 0

qv

.

=

l

pentru coordonate cillindrice devine:

N2t = 0 sau

2

2

2

2

2 2

2

2

z

t t

r

1

r

t

r

1

r

t

t

?

+ ?

?j

+ ?

?

+ x ?

?

N = ? (2)

Pentru propagare numai pe directia razei ecuatia (2) are forma:

0

r

t

r

1

r

t

2

2

=

?

+ x ?

?

? (3)

r1

r2

t1

t2

?

t

r

2

Se face notatia u

r

t =

?

? >> u 0

r

1

dr

du + x = >>

r

u

dr

du = - >>

r

dr

u

du = -

a carei solutie este de forma: ln u = - ln r + lnC1

r

C

ln u = ln 1 >>

r

C

u = 1 >>

r

C

dr

dt = 1 >>

r

C

dr

dt = 1 >> dr

r

C

dt = 1 x >>

Expresia variatiei temperaturii printr-un perete cilindric este:

t C ln r C [0C]

= 1 x + 2 (4)

Constantele C1 si C2 se determina punand conditii la limita:

- pentru r = r1 <-> t = t1 <-> t1 = C1 x ln r1 + C2 <-> C2 = t1 - C1 x ln r1

- pentru r = r2 <-> t = t2 <-> t 2 = C1 x ln r2 + C2 <->t 2 = C1 x ln r2 + t1 - C1 x ln r1 ;

t 2 = t1 + C1 x (ln r2 - ln r1 )

1

2

2 1

1

r

r

ln

t t

C

-

= si 1

1

2

2 1

2 1 ln r

r

r

ln

t t

C t x

-

= - (5)

Inlocuind constantele in expresia temperaturii se obtine:

ln r [ C]

r

r

ln

t t

ln r t

r

r

ln

t t

t 0

1

1

2

2 1

1

1

2

= 2 - 1 x + - - x (6)

Expresia finala a variatiei temperaturii printr-un perete cilindric este:

[ C]

r

r

ln

r

r

ln

t t (t t ) 0

1

2

1

= 1 - 2 - 1 x (7)

Fluxul termic unitar, conform legii lui Fourier:

??

?

?? ?

x

l

-

x =

-

= -l x = -l x 2

1

2

1 2

1

2

2 1

.

m

W

r

r

ln

r

t t

r

1

)

r

r

ln

t t

(

dr

dt

q (8)

Obs. Spre deosebire de peretele plan, fluxul termic unitar nu este constant, variatia