Mecanică analitică

Coordonate si viteze generalizate. Spatiu de configuratie.

Mecanica analitica este o metoda generala care se bazeaza pe principii variationale.

Un sistem mecanic este supus la legaturi daca i se impun anumite restrictii geometrice,

adica exista o dependenta functionala intre coordonate, viteze si timp

f(r r 1, r r 2, , r r n, v r 1, v r 2, , v r n, t) = 0 (1.1)

In lipsa unor legaturi, configuratia unui sistem de n puncte materiale va fi determinata la

un moment dat de 3n coordonate carteziene x1, y1, z1, , xn, yn, zn Un astfel de sistem are 3

n grade de libertate care definesc univoc pozitia in spatiu la un moment dat a tuturor

punctelor din sistem in raport cu un sistem de referinta. Daca intre cele 3n coordonate exista -

relatii de legatura, numarul gradelor de libertate se reduce la f = 3n-- In acest caz

configuratia sistemului se poate defini daca se cunosc numai f coordonate independente

q1, q2, , qf numite coordonate generalizate

q1 = q1(x1, y1, z1, , xn, yn, zn)

(1.2)

qf = qf (x1, y1, z1, , xn, yn, zn)

Meanica analitica are avantajul ca elimina relatiile de legatura.

In mecanica o coordonata generalizata poate fi o distanta sau un unghi, in timp ce in

domeniul electromagnetismului putem considera drept coordonata generalizata o sarcina

electrica sau un flux magnetic.

Vitezele generalizate se exprima prin relatiile:

q& i =

dt

dqi , i = 1, 2, , f (1.3)

Starea mecanica a sistemului de n puncte materiale ce f grade de libertate este complet

determinata de 2f parametri si anume de cele f coordonate generalizate si cele f viteze

generalizate. Ne putem imagina un spatiu cu f dimensiuni in care un punct figurativ

determinat de marimile q1, q2, , qf sa reprezinte configuratia sistemului la un moment dat,

adica pozitia tuturor punctelor materiale in raport cu un referential. Acest spatiu se numeste

spatiu de configuratie. La trecerea sistemului de la o stare initiala - 0 la o alta stare - , punctul

reprezentativ va descrie o traiectorie in spatiul de configuratie, reprezentata prin ecuatiile:

q1 = q1(t), q2 = q2(t), , qf = qf(t) (1.4)

2. Ecuatiile Lagrange de speta I-a si a II-a

Consideram o particula M care descrie o curba plana. Daca particula ar fi libera, am avea

3 grade de libertate si deci trei coordonate generalizate. Deoarece avem o restrictie legata de

miscarea particulei intr-un plan, rezulta ca avem o legatura (z = 0) si deci pentru descrierea

miscarii sunt suficiente doua coordonate generalizate r si - , numite coordonate polare plane.

Din figura rezulta:

x = r cos -

y = r sin - (1.5)

- 2 -

r r

= xi r

+ y j

r

= r- r (1.6)

- r

= i

r

cos - + j

r

sin - (1.7)

x& = r& cos - - r - & sin -

y& = r& sin - + r - & cos - (1.8)

v r

= x& i

r

+ y& j

r

= r& (i

r

cos - + j

r

sin - ) + r - & (- i

r

sin - + j

r

cos - )

v r

= r& - r + r - & - r (1.9)

cu: - r = - i

r

sin - + j

r

cos - (1.10)

- r

este versorul directiei variabilei rr , iar - r este versorul perpendicular in fiecare moment pe

- r

. i

r

si j

r

sunt versorii axelor Ox si Oy si au marimea egala cu unitatea si o directie care se

pastreaza.

Din relatiile (1.7) si (1.10) obtinem:

- & r = - i

r

- & sin - + j

r

- & cos - = - & - r

- & r = - i

r

- & cos - - j

r

- & sin - = - - & - r (1.11)

Prin derivarea relatiei (1.9) obtinem acceleratia ar :

ar = v& r = r& & - r + r& - & r + r& - & - r + r - & & - r + r - & - & r = r& & - r + r& - & - r + r& - & - r + r - & & - r - r - & 2- r

ar = ( r& & - r - & 2)- r + (2 r& - & + r - & & )- r (1.12)

Forta F

r

se poate descompune intr-o componenta radiala F

r

r si una normala F

r

n:

F r

= mar = F

r

r + F

r

n = Fr- r + Fn- r (1.13)

unde:

Fr = mar = m(&r& - r - & 2) (1.14)

Fn = man = m(2 r& - & + r &- & ) (1.15)

Marimea momentului cinetic se determina astfel:

- P

r

= r x mvr r = m - ( - + - - ) r & r

&

r r x r r = mr2 - & - - r r x = mr2 - & (1.16)

Energia cinetica este:

T =

2

mv2

=

2

m (x& 2 + y& 2 ) =

2

m

- - -

- - -

2 + 2 - 2 r& r & (1.17)

Marimile: