Transformata Laplace

Se numeste functie original o functie care satisface urmatoarele conditii:

(i) pentru ;

(ii) este derivabila pe portiuni;

(iii) exista doua numere astfel incat pentru orice t real ( se numeste indicele de crestere al functiei ).

Verificand conditiile din definitia de mai sus se poate demonstra usor ca multimea functiilor original formeaza un spatiu liniar. Mai mult, cum si produsul a doua functii original este tot o functie original rezulta ca pe spatiul functiilor original este definita o structura de algebra.

In continuare vom nota aceasta algebra cu

Spatiul functiilor original este suficient de bogat - asa cum se poate observa construind numeroase exemple - incluzand majoritatea combinatiilor posibile dintre reprezentanti ai principalelor clase de functii elementare.

Operatorul liniar Exitenta si olomorfia transformatei Laplace

Daca notam cu spatiul functiilor complexe de variabila complexa, putem introduce operatorul lui Laplace:

definit prin

(daca converge)