Spații Vectoriale

Spaţiul vectorial este una din cele mai importante structuri matematice, care serveşte disciplinelor economice si ingineresti.

DEFINITIE

Fie (K,+,⋅) un corp comutativ şi 1K elementul său unitate. Tripletul format din:

- o mulţime V≠Φ

- o lege de compoziţie internă, aditivă, definită pe V, notata : ⊕ , +,…….

⊕ : VVV→×

()vuvu⊕→,, ∀ u,v∈V

- o lege de compoziţie externă, multiplicativă, notata : ∗, ⋅,….

∗ V VK :→×

(α,u)→ α∗u, ∀ α∈K, u∈V

care verifică axiomele:

(V1) (V,⊕) este grup abelian (elementul neutru al acestui grup va fi notat θ)

(x⊕y) ⊕z=x⊕ (y⊕z), ∀x,y,z∈V (asociativitate)

x⊕y=y⊕x, ∀x,y∈V (comutativitate)

∃θ∈V, ∀x∈V, x⊕θ=θ⊕x=x (element neutru)

∀x∈V, ∃x’∈V, x⊕x’=x’⊕x=θ (elemente simetrizabile)

(V2) ()K V,vu, ∈∀∈∀∗⊕∗=⊕∗ααααvuvu

(V3) ()K, V,u ∈∀∈∀∗⊕∗=∗+βαβαβαuuu

(V4) ()()uu∗=∗∗αββα ∀ u∈V , K∈∀βα,

(V5) uuK=∗1Vu∈∀

se numeşte spaţiu vectorial (liniar) peste K (sau K-spaţiu vectorial).

Spaţii vectoriale

Matematici aplicate in economie

In cazul in care K=R (respectiv K=C) vom spune că V este un spaţiu vectorial real (respectiv complex).

Elementele unui K-spaţiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se numesc scalari.

Legea aditiva se numeste adunarea vectorilor, iar legea multiplicativa se numeste inmultirea vectorilor cu scalari.

Vectorul θ se numeste vectorul nul al spatiului vectorial.

Proprietaţi

Intr-un K-spaţiu vectorial (V,+,⋅)/K, următoarele afirmaţii sunt adevărate:

VuK , v-uu)-( 2)Vvu,K v-uv)-u( )1∈∀∈∀⋅⋅=⋅∈∀∈∀⋅⋅=⋅βαβαβααααα

3) K ∈∀=⋅αθθα

4) Vu 0∈∀=⋅θuk

5) Vu )(∈∀−=⋅−uuK1

6) dacă θα=⋅u, atunci K0=α sau θ=u.

Exemple.

1. Spaţiul aritmetic cu n dimensiuni, nK

Fie K un corp comutativ şi n∈N* .Vom considera produsul cartezian

=nK4434421orinKKK−×××.... .

Elementele lui Kn sunt de forma )...,(21nxxxx= şi se numesc n-uple ordonate.

nK are structură de spaţiu vectorial peste corpul K, impreună cu urmatoarele legi de compozitie:

-o lege de compoziţie aditivă, definită prin:

∀x=(x1,x2,…xn), y=(y1, y2,…yn)∈Kn x+ydef= (x1+y1,x2+y2,…xn+yn)

-o lege de compoziţie externă peste K definită prin:

x=(x1,x2,…xn)∈Kn ,∀α∈K α⋅xdef=(αx1,αx2,…αxn).

cursul 1la matematica