Introducere
1.1. Funcţii continuale şi funcţii discrete în timp
1.1.1. Definiţia funcţiilor continuale şi discrete în timp
Orice funcţie
y : T → Y, y = y(t), (1.1.1)
are o serie de caracteristici dependente de structurile mulţimilor T şi Y.
Structura mulţimii T determină caracterul de funcţie continuală sau funcţie
discretă, iar structura mulţimii Y determină categoria matematică care operează cu
valorile acestor funcţii, ca de exemplu, algebra pe R sau Rn, algebra Boole, operaţii
fuzzy etc.
Mulţimea T este numită domeniul timp, iar mulţimea Y este mulţimea
valorilor. Se consideră T R. Dacă mulţimea T este un interval, atunci funcţia y
se numeşte funcţie continuală. Dacă T este o reuniune de intervale dintre care cel
puţin două din ele sunt disjuncte, atunci domeniul T se numeşte domeniu discret.
O funcţie definită pe un domeniu discret se numeşte funcţie discretă în timp.
Un caz particular de domeniu discret îl constituie domeniul pur discret
neuniform pentru care mulţimea T este alcătuită numai din puncte izolate tk
ordonate strict pe R, adică tk − tk −1 > 0 , ∀k ≥ 1:
T = {t0 , t1,K,tk −1, tk , tk +1,K} R. (1.1.2)
Acesta este denumit domeniu pur discret neuniform deoarece elementele sale
tk, denumite momente (instanţe) de timp, sunt distribuite neuniform în domeniul
timp considerat, R.
Lungimea intervalului dintre două momente succesive de timp
Tk = tk - tk-1 > 0, k ≥ 1 (1.1.3)
se numeşte interval de eşantionare sau perioadă neuniformă de eşantionare
sugerând faptul că momentele tk sunt eşantioane din mulţimea R.
Prin domeniu pur discret uniform se înţelege domeniul timp pentru care
mulţimea T este alcătuită numai din puncte izolate distribuite uniform pe mulţimea
R, de forma:
T = { tk tk = t + k T , 0 , k N} R, (1.1.4)
adică
T = {t0 + 0⋅T, t0 +1⋅T,K,t0 + (k −1)T, t0 + kT, t0 + (k +1)T,K}.
Intervalul de eşantionare este acelaşi pentru oricare moment de timp,
Tk = tk - tk-1 = T, k ≥ 1, (1.1.5)
unde T se numeşte perioadă de eşantionare, iar t0 este aşa-numitul "bias de timp"
(deviaţie iniţială în timp).
1 - 2
Un caz particular de domeniu discret T îl constituie mulţimea numerelor
întregi T = Z sau naturale T = N, în care caz funcţia discretă în timp este un şir de
valori, notat şi sub forma k k Z y { } , respectiv k k N y { } .
Deoarece oricare domeniu pur discret neuniform sau uniform este izomorf cu
Z sau N, orice funcţie discretă cu domeniile (1.1.2) sau (1.1.4) este izomorfă cu un
şir în care se consideră valorile şirului yk = y(tk) sau yk = y(kT).
Se foloseşte termenul "continual" pentru a face distincţia faţă de termenul
"continuu" care exprimă proprietatea de continuitate a unei funcţii.
Antonimul sintagmei "funcţie continuală" este "funcţie discretă în timp", însă
antonimul sintagmei "funcţie continuă" este "funcţie discontinuă".
Prin segmentul unei funcţii continuale sau discrete y : T→Y, y = y(t)
corespunzătoare unui interval I T, se înţelege o submulţime a graficului funcţiei
respective determinată de intervalul I din domeniul timp T, definită prin:
yI = {( t, y) ; ∀t I T, y = y(t) }. (1.1.6)
Intervalul I poate fi închis, deschis sau semideschis la stânga sau dreapta. De
exemplu, segmentul funcţiei continuale (1.1.1) la intervalul I = (t1, t2] se notează
(t1 , t2 ] y = {(t, y) ; ∀t (t1,t2 ] T, y = y(t)}, (1.1.7)
iar segmentul unei funcţii pur discrete dată de un şir de valori k k N y { } pe un
interval I = [k1, k2], se notează
[k1 , k2 ] y = {(k, y) ; [ , ] 1 2 ∀k k k T, y = yk}. (1.1.8)
1.1.2. Exemple de funcţii continuale
Fie funcţiile y1 : [2, 8) → R şi y2 : [2, 8) → R, cu reprezentările grafice din
Fig.1.1.1. Ambele funcţii sunt funcţii continuale deoarece domeniul lor de definiţie
este un interval, respectiv un interval obţinut prin reuniunea a două intervale
conjuncte. Funcţia y1 este o funcţie continuală şi continuă, însă funcţia y2 este o
funcţie continuală şi discontinuă.
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
