Serii Trigonometrice

Serii trigonometrice

Vom studia clasa particulară de serii de funcţii ()1nfx∞Σ cu ()()()()000,cossin,1, cu nnnnnfxafxanxbnxnxa≥==+≥∈⊂RR,

numite serii trigonometrice. În acest scop vom prezenta unele proprietăţi ale funcţiilor reale periodice. ()1nnb≥⊂R

Definiţia VI.6.

Fie f : A ⊂ R → R.

1] f se numeşte funcţie periodică, dacă există T ≠ 0 a. î. ∀x∈A să avem x + T ∈A, x - T ∈A şi:

(VI.35) f (x + T ) = f (x), ∀x∈A şi T ≠ 0.

2] Numărul real T0 > 0 cel mai mic posibil cu proprietatea f (x +T0 ) = f (x), ∀x∈A se numeşte perioada principală a funcţiei f (perioadă fundamentală a lui f).

Observaţii:

1) Dacă T0 > 0 este perioadă principală, avem: f (x + pT 0) = f (x), ∀x∈A şi ∀p∈Z.

2) Exemple:

1. f (x) = sin x, x∈R şi g (x) = cos x, x ∈R au perioada principală T0 = 2π.

2. f (x) = sin (ωx+ ϕ) şi g (x) = cos (ωx+ ϕ), cu ω, ϕ∈R, ω ≠ 0 şi x ∈R au perioada principală T0 =2πω.

3. f (x) = sin xlπ şi g (x) = cos xlπ, cu l > 0,fixat şi x ∈R au perioada principală T0 =2l.

478

3) Dacă f : A ⊂ R → R are perioada principală (fundamentală) T0 = 2π, atunci 02Txf⎛⎜π⎝⎠

⎞⎟

are perioada principală T0 = 2π şi din acest motiv se vor considera funcţii reale periodice cu T = 2π.

4) În problemele privind studiul funcţiilor trigonometrice vom considera clasa funcţiilor reale f : R → R continue pe orice interval compact din R şi cu limite laterale finite în orice punct (funcţii local integrabile Riemann pe R) periodice cu T = 2π. Pentru această clasă de funcţii are loc egalitatea:

(VI.36) ()()2,aafxdxfxdxa+ππ−π=∀∈∫∫R.

()222 şi+=0, -2aaaaaaxtπ+πππ−π−π+π−π+π⎛⎞=++=π⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫∫ .

Exemple:

()();[0,)sin cu şi 0;[,0)xexfxxxgxx⎧∈π=∈=⎨∈−π⎩R se pot prelungi prin periodicitate pe R.

5) Dacă f este o funcţie periodică de perioadă T∈R* şi pentru ∀a∈R, avem [a, a + T] ⊂ A (f : A⊆ R →R) atunci construim graficul lui f pe segmentul [a, a+ T] şi prin periodicitate, cu o translaţie pe Ox a graficului de pe intervalul [a, a+ T] se obţine graficul lui f pe A⊆ R.

6) Dacă f, g: A⊆ R → R sunt funcţii periodice de perioadă T ∈R* comună, atunci funcţiile f + g, λf (λ ∈R*), f – g, fg, (0 pe Afgg≠ ) sunt periodice pe A cu aceeaşi perioadă T ≠ 0.

CURS MATEMATICA SUPERIOARA ANUL I