Serii în spații vectoriale normale

Exemplul 1. In R considerØam ¸sirul an = 1

n. Avemsn = 1+ 1

2 + ... + 1

n ,

deci seria (an, sn) este Pn

1

n , numitØa seria armonicØa.

Exemplul 2. In R considerØam ¸sirul an = qn1, q  R. RezultØa sn =

1 + q + ...qn1 ¸si seria (an, sn) va fi Pn

qn1, numitØa seria geometricØa.

Exemplul 3. In R considerØam ¸sirul an = 1

n± , ±  R. RezultØa sn =

1 + 1

2± + ... + 1

n± , deci seria (an, sn) va fi Pn

1

n± , numitØa seria armonicØa

generalizatØa.

Exemplul 4. In M[a,b] cu norma convergen¸tei uniforme, considerØam

¸sirul an (x) = xn1

(n1)!. RezultØa cØa sn (x) = 1+ x

1! + x2

2! + ... + xn1

(n1)! , deci seria

(an (x) , sn (x)) va fi Pn

xn1

(n1)!, numitØa seria exponen¸tialØa.

Exemplul 5. In R seria Pn

1

n(n+1) are ¸sirul sumelor par¸tiale

sn =

n Pk=1

1

k(k+1) =

n Pk=1

1

k 

n Pk=1

1

k+1 = 1 1

n+1.

Deoarece lim

n’

sn=1, rezultØa cØa seria datØa este convergentØa ¸si Pn=1

1

n(n+1)=1.

Exemplul 6. Seria armonicØa Pn

1

n are ¸sirul sumelor par¸tiale sn =

n Pk=1

1

k

¸si deoarece s2n  sn = 1

n+1 + 1

n+2 + ... + 1

2n > 1

2, rezultØa cØa {sn} nu este

¸sir Cauchy în R, deci nu este convergent. Ob¸tinem cØa seria armonicØa este

divergentØa.

185

186 CAPITOLUL 10. SERII

Exemplul 7. Seria geometricØa Pn

qn1 are ¸sirul sumelor par¸tiale sn =

n Pk=1

qk1 = 1qn

1q , convergent pentru | q |< 1 ¸si divergent pentru | q |e 1.

Deci seria geometricØa este convergentØa pentru | q |< 1 cu suma s = 1

1q ¸si

divergentØa în rest.