Serii Fourier

Notiunea de spatiu Hilbert. Spatiul .

Un spatiu Hilbert este un spatiu Banach in care norma este generata de un anumit produs scalar, anume .

Spatiul functiilor de patrat integrabil pe intervalul , notat se organizeza ca spatiu Hilbert prin introducerea unui produs scalar. In acest spatiu prin distanta dintre f si g intelegem numarul cunoscut si sub numele de abatere patratica medie a functiilor f si g pe intervalul iar convergenta (in norma) a unui sir de functii din acest spatiu catre o functie f o numim convergenta in medie.

Sisteme ortogonale si ortonormale de elemente in spatii Hilbert

Fie X un spatiu Hilbert, I o multime de indecsi si o familie de elemente.

Doua elemente se numesc ortogonale si se noteaza daca . Familia de elemente se numeste sistem ortogonal daca pentru . Daca in plus familia se numeste sistem ortonormal.

Familia de elemente dintr-un spatiu liniar real se numeste liniar independenta daca pentru orice sistem finit are loc implicatia .

Fiind dat un sistem finit sau numarabil de elemente liniar independente se poate construi, pornind de la acesta un sistem ortogonal sau ortonormal finit, respectiv numarabil folosind procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt.

Daca este un sistem ortonormal, atunci numerele se numesc coeficientii Fourier generalizati ai elementului in raport cu sistemul ortonormal considerat.

Fiind dat un sistem ortonormal de elemente din si o functie , seria se numeste seria Fourier generalizata a functiei f(t) in raport cu sistemul ortonormal considerat, unde sunt coeficientii Fourier generalizati ai functiei f in raport cu acelasi sistem ortonormal.

Un sistem ortonormal este inchis daca are loc relatia: numita formula lui Parseval.

Se poate demonstra ca seria Fourier generalizata atasata unei functii f din in raport cu un sistem ortonormal inchis din converge in medie catre f.

Sistemul ortogonal si sistemul ortonormal al functiilor trigonometrice

Fie cu fixat.

Fie sistemul de functii trigonometrice:

numit sistemul ortogonal al functiilor trigonometrice. Ortogonalitatea se poate verifica prin calcul direct.