Programare Liniară

Programarea liniară este un capitol important al cercetărilor operaţionale, cu o largă aplicare în practica de zi cu zi, dar mai ales în economie.Vom ilustra câteva direcţii de aplicare ale programării liniare in activitatea productivă.

A. Problema utilizării optime a unor resurse

Se urmăreşte producerea reperelor

R1,R2,…Rn

în fabricarea cărora se utilizează materiile prime (resursele)

E1,E2,….Em (resursele mai pot fi: disponibil de forţă de muncă, disponibil de capital, energie).

Resursele sunt disponibile în cantităţi limitate; asfel din resursa Ej dispunem de o cantitate maximă bj, cunoscută în prealabil.

Se mai cunosc:

- consumurile tehnologice: ∀ i =n,1 şi ∀ j=m,1 aij ≥ 0 este cantitatea din resursa Ej ce se consumă pentru a fabrica o unitate din produsul Ri;

-beneficiile unitare: ∀i=n,1 ci este suma obţinută prin vânzarea unei unităţi de produs Ri;

-costurile unitare de achiziţie pentru materiile prime: ∀j=m,1 αj este suma necesară cumpărării unei unităţi din materia prima Ej;

-capital total disponibil: S reprezinta suma totală disponibilă pentru achiziţionarea de resurse in vederea realizării producţiei.

Vom nota cu xi (i=n,1) cantitatea de produs ce va fi fabricată.

• Cunoaşterea mărimilor xi, i=n,1 reprezintă scopul final într-o problemă de planificarea producţiei.

În aceste condiţii:

-încasările totale rezultate din vânzarea produselor sunt date de:

f(x1,x2,…xn) = Σ=niiixc1

-din resursa Ej s-a consumat în total cantitatea , Σ=niiijxa1mj,1=∀;

-costul total al materiei prime Ej consumate este ∀ j = Σ=niiijjxa1αm,1;

Programare liniară

Matematici aplicate in economie

-cheltuielile totale pentru achiziţionarea tuturor materiilor prime necesare realizării producţiei vor fi . ΣΣ==mjnijiijxa11α

Se pot prezenta două modele diferite, care au ca scop determinarea mărimilor x1,x2,…xn.

1)Dacă unitatea are materiile prime E1,E2,….Em în cantităţile b1,b2,…bm cunoscute, se pune problema utilizării acestora într-un mod care să conducă la încasări totale cât mai mari.

În acest caz modelul matematic poate fi scris:

maxim f(x1,x2,…xn) = Σ; =niiixc1⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤Σ=nixmjbxainijiij,10,11

2)Dacă unitatea productivă dispune de un capital S, care va folosi la achiziţionarea materiilor prime necesare pentru fabricarea produselor R1,R2,…Rn, asfel încât încasările totale să fie cât mai mari şi să se recupereze capitalul investit.

Modelul matematic va fi :

maxim f(x1,x2,…xn) = Σ; =niiixc1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≥≤ΣΣΣ===nixSxcSxainiiinimjjiij,10;111α

Aceste modele pot fi completate cu numeroase detalii reprezentând condiţii suplimentare de care trebuie să se ţină seama.

B.Problema aprovizionării (cu o singură marfă)

Se ia în considerare un sistem de depozite D1,D2,…Dn: în depozitul Di se află cantitatea ai de marfă (i=n,1). Se ştie că această marfa este destinată unor consumatori C1,C2,…Cm. Beneficiarul Cj are nevoie de cantitatea bj de marfă (j=m,1). Notăm cu cij (0∞≤≤ijc) costul transportului unei unitaţi de marfă de la depozitul Di la consumatorul Cj. Acest model are scopul de a determina cantitaţile xij (mjni,1,,1==) de marfă ce vor fi scoase din depozitul Di şi trimise beneficiarului Cj, astfel încât costul transportului întregii cantităţi de produse să fie cât mai mic. Cazul ‘’cij=∞’’ arată că transportul de la Di la Cj este imposibil. Vom prezenta modele care vor conţine ca restricţii condiţiile ca totalul mărfii extrase dintr-un depozit să nu

Programare liniară

Matematici aplicate in economie

depaşească marfa existentă în acel depozit, iar cantitatea totală de marfă primită de un beneficiar să nu fie sub necesarul acelui beneficiar.