Capitolul 1
CÂMP DE EVENIMENTE. CÂMP DE PROBABILITATE
1.1. Evenimente
Noţiunea primară cu care se operează în teoria probabilităţilor este noţiunea de
eveniment. Prin eveniment se înţelege rezultatul unui experiment.
Când vorbim de experiment, înţelegem un fenomen în ansamblul său, indiferent dacă,
în evoluţia sa, este dirijat, provocat de om sau nu.
Prin urmare, când vorbim de un experiment subînţelegem existenţa unui complex de
condiţii, la care ne raportăm în studiul fenomenului considerat şi faţă de care considerăm
diversele rezultate posibile, diversele evenimente.
Din punct de vedere probabilistic, ne interesează acele fenomene, experimente, ale
căror rezultate nu pot fi prevăzute cu certitudine, care au loc după o legitate de tip determinist.
Interesează acele experimente ale căror rezultate, influenţate de o multitudine de
factori ce acţionează întâmplător - în cadrul complexului de condiţii care se presupune a fi
asigurat - şi care determină un caracter întâmplător evenimentelor ce apar.
Această acţiune întâmplătoare nu este haotică, ci are un caracter legic, care este
specific teoriei probabilităţilor şi statisticii matematice. Aşadar, evenimentele apar după o
anumită legitate, căreia îi vom spune să este de tip stochastic şi în studiul oricărui fenomen
căutăm să determinăm legitatea de evoluţie a sa.
Evenimentele ce apar ca rezultat al unor experimente le vom nota A, B, C … cu indici
sau nu, după cum va fi necesar într-un context dat.
În mulţimea evenimentelor distingem unele evenimente remarcabile. Evenimentul
care se realizează cu certitudine într-o experienţă ce are loc în cadrul unui complex de condiţii
date, îl vom numi evenimentul sigur şi-l vom nota cu Ω sau E. Evenimentul care nu se
realizează niciodată în cadrul unui experiment dat, îl vom numi evenimentul imposibil şi-l
vom nota cu Φ. Evenimentul contrar sau complementar unui eveniment A este acel
eveniment care se realizează atunci şi numai atunci când nu se realizează A. Vom nota acest
eveniment cu AC sau A . Între evenimente există relaţii logice pe care le vom nota cu semnele
utilizate în teoria mulţimilor. Astfel, vom nota o familie de evenimente cu litere mari ronde şi
dacă A este un eveniment ce aparţine unei familii K de evenimente, vom scrie A∈ K.
De asemenea, dacă A este o familie de evenimente conţinute în familia K, vom scrie A
⊂ K.
Dacă realizarea evenimentului A atrage după sine (implică) realizarea evenimentului
B vom scrie A ⊂ B.
Două evenimente A şi B sunt echivalente dacă se implică unul pe altul şi vom scrie
A = B. Deci, A⊂ B şi B ⊂ A ⇔ A = B.
În cadrul unui complex de condiţii date, pentru un eveniment A arbitrar, avem
implicaţiile:
Φ ⊂ A ⊂ Ω
În mulţimea evenimentelor legate de un experiment dat, relaţia de implicaţie constituie
o relaţie de ordine parţială. Aceasta înseamnă că operaţia “⊂” are proprietăţile:
i) reflexivitate: A ⊂ A oricare ar fi evenimentul A
ii) antisimetria: dacă A ⊂ B şi B ⊂ A, atunci A = B
iii) tranzitivitatea: dacă A ⊂ B şi B ⊂ C, atunci A ⊂ C
iv) pot exista evenimente A, B astfel încât A ⊄ B şi B ⊄ A.
10
Operaţii cu evenimente. Ca şi relaţiile dintre evenimente, operaţiile cu evenimente
sunt operaţii logice şi ele vor fi simbolizate ca în teoria mulţimilor.
Dacă A şi B sunt evenimente, vom considera evenimentul care constă în realizarea sau
a evenimentului A sau a evenimentului B şi-l vom nota A ∪ B (se citeşte “evenimentul A sau
B”).
Odată cu evenimentele A, B, considerăm evenimentul care constă în realizarea
simultană a evenimentelor A, B şi-l vom nota A ∩ B (se citeşte “evenimentul A şi B”).
Două evenimente a căror realizare simultană este echivalentă cu evenimentul
imposibil se numesc incompatibile şi vom scrie A ∩ B = ∅; în caz contrar, evenimentele se
numesc compatibile (A ∩ B ≠ ∅).
Fiind date evenimentele A, B se introduce evenimentul care constă în realizarea
evenimentului A şi nerealizarea evenimentului B, notat A - B. Se constată imediat că A - B =
A ∩ B; B = Ω - B (complementarul faţă de Ω). Putem enunţa acum un rezultat asupra căruia
vom mai reveni.
Orice reuniune de evenimente arbitrare se poate scrie ca o reuniune de evenimente
incompatibile.
Într-adevăr, dacă evenimentele A1,A2,…,An sunt compatibile, atunci dacă
Bk = Ak Aj
j=1
k-1
− U , k=1,2,…,n se constată imediat că Bk∩Bk’=Φ, k≠k’, k,k’∈{1,2,…,n} şi
Ak A - A) = B
k=1
n
k j k
k=1
n
j=1
k-1
k=1
n
U =U( U U .
Câmp de evenimente. Să considerăm o mulţime arbitrară Ω≠Φ şi ℘(Ω) mulţimea
părţilor lui Ω.
Definiţie. O familie nevidă K⊂℘(Ω) se numeşte corp de părţi (mulţimi ) dacă:
i) (∀) A∈K ⇒ A ∈K
ii) (∀) A,B∈K ⇒ A∪B∈K
Observaţie. Axioma ii) este echivalentă cu:
ii’) (∀) A1,A2,…,An∈K, n∈N, n≥2 ⇒ A
k
n
k
=1
U ∈K.
Într-adevăr, ii) ⇒ ii’) deoarece A1,A2∈K ⇒ A1∪A2∈K. Luăm acum A1∪A2,A3∈K ⇒
A1∪A2∪A3∈K ş.a.m.d. Dacă A1∪A2∪…∪An-1∈K, An∈K ⇒ Ak
k
n
=1
U ∈K. ii’) ⇒ ii) deoarece
pentru n = 2, dacă punem A1=A, A2=B, rezultă afirmaţia.
Asociativitatea reuniunii, împreună cu i) şi ii) implică faptul că un corp K este o
mulţime nevidă de părţi închisă în raport cu reuniunea finită şi complementară.
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
