Primitive

1. Primitive. Proprietăţi generale

Definiţia 1.1. Fie un interval. Funcţia admite primitive pe dacă există funcţia , derivabilă pe şi . Funcţia se numeşte primitiva (integrala nedefinită) lui pe .

Observaţia 1.1. Fie un interval şi o funcţie care admite o primitivă . Atunci oricare ar fi constanta reală , funcţia este de asemenea o primitivă a lui f pe şi reciproc, orice primitivă a lui pe este de forma .

Într-adevăr, funcţia este derivabilă pe şi avem

,

deci, este o primitivă a lui pe .

Reciproc, Fie o altă primitivă a lui f pe . Definim funcţia , oricare ar fi . Atunci este derivabilă pe şi

, oricare ar fi .

Potrivit unei consecinţe la teorema lui Lagrange, avem este funcţia constantă.

Pentru a demonstra implicaţia directă fie un punct fixat, interior intervalului Atunci, din teorema lui Lagrange rezultă că pentru orice , de asemenea fixat, există situat în intervalul deschis cu extremităţile şi astfel încât

.

Dacă notăm atunci rezultă că şi deci pe .

De aici rezultă că primitiva funcţiei pe un interval este unic determinată până la o constantă aditivă.

Observaţia 1.2. Definiţia primitivei se poate extinde şi în cazul funcţiilor definite pe o reuniune finită de intervale disjuncte, dar atunci afirmaţia din observaţia 1, potrivit căreia două astfel de primitive diferă printr-o constantă, nu mai este adevărată.

De exemplu, fie funcţia , definită prin . Atunci funcţiile

şi

sunt derivabile pe şi avem . De aici rezultă că şi sunt primitive ale lui pe . Vom observa că diferenţa

nu se reduce la o constantă.

Definiţia 1.2. Fie o funcţie care admite primitive pe şi fie o primitivă a sa. Mulţimea , a tuturor primitivelor lui , se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f pe şi se notează cu

sau .

Potrivit observaţiei 1.1 putem scrie

. (1.1)

unde reprezintă mulţimea tuturor funcţiilor constante pe .

Curs primitive utcb-cfdp