Metode Numerice

1. MODELARE MATEMATICÃ

Încã de la începuturile dezvoltãrii sale, modelarea s-a impus ca una dintre cele mai puternice si cele mai flexibile instrumente suport pentru luarea deciziilor. Aplicatiile modelãrii sunt extrem de numeroase si variate. Practic, nu existã domeniu de activitate în care sã nu utilizeze tehnici de modelare sau modele. Astãzi deciziile eficiente se bazeazã nu numai pe modelare si simulare, ci pe o adevãratã analizã de sistem.

Matematica, stiintã a structurilor abstracte ale fenomenelor si sistemelor reale, poate modela orice fenomen, cel putin din punct de vedere conceptual. Este deja dovedit faptul cã studiul sistemelor reale (a celor complexe în special) cu ajutorul modelelor este mult mai eficient, nu numai sub aspect calitativ, dar si economic.

Cresterea complexitãtii proceselor si fenomenelor a impus perfectionarea continuã a metodelor si tehnicilor de analizã si investigatie, cât si a celor privind conducerea si luarea deciziilor. Deciziile bazate pe intuitie sau experientã nu-si mai gãsesc locul în economia modernã. Astãzi se folosesc algoritmi si tehnici moderne, sustinute prin mijloace informatice performante.

Un management eficient impune asistarea deciziilor prin utilizarea unor metode matematice moderne, combinate cu cele mai avansate tehnici de calcul computerizat.

1.1. CONCEPTE PRIVIND MODELAREA

Termenul de model se foloseste de obicei pentru o structurã construitã special pentru descrierea trãsãturilor si caracteristicilor unor obiecte. Uneori, astfel de modele sunt concrete, alteori sunt modele abstracte. Analogiile model-realitate constituie instrumente importante, uneori de neinlocuit, de cunoastere a fenomenelor si proceselor lumii reale.

Cunoasterea realitãtii înconjurãtoare se poate face, în general, deductiv sau experimental.

Procesul deductiv de cunoastere presupune urmãtoarele faze:

• observarea si analizarea sistemului real ;

• construirea unei teorii (sistem de axiome sau postulate) pe baza procesului de abstractizare a fenomenului real;

• deducerea unor rezultate (teoreme) cu ajutorul regulilor logicii si obtinerea unor concluzii;

• interpretarea concluziilor asupra sistemului real .

Abordarea experimentalã porneste de la o teorie care permite obtinerea unor concluzii. Prin experimente, anumite date astfel obtinute, sunt supuse interpretãrilor statistice, dând nastere la concluzii privind sistemul real studiat.

Rezultate mai bune se obtin atunci când procesul de cunoastere se face combinat, atât experimental, cât si deductiv.

Unele sisteme reale nu permit efectuarea experimentelor, datoritã unor particularitãti sau datoritã costurilor exagerate (de exemplu, anumite fenomene si procese economice). Acestea sunt modelate, iar cu ajutorul modelului construit se obtin rezultate aplicabile sistemului real.

Modelul este o reprezentare (imagine) simplificatã a realitãtii. Pentru a fi util în procesul de luare a deciziilor, modelul trebuie sã fie bine înteles si usor de folosit. În acelasi timp, el trebuie sã continã toate elementele caracteristice ale problemei studiate. Aceasta se realizeazã prin procesul de abstractizare care creeazã o imagine simplificatã a sistemului real. Sarcina nu este una usoarã, dar dacã este bine realizatã, atunci modelul va fi un instrument extrem de util în procesul de luare a deciziilor.

Desi conceptul de „model” este relativ nou, metoda modelãrii a fost folositã de oamenii de stiintã în cele mai diverse domenii ale cunoasterii, fãrã a uza însã de termenul respectiv. Conceptul de „model” se pare ca a fost folosit pentru prima data de matematicianul Beltrami in 1868, provenind de la radacina latina “modus”, care, printre altele, inseamna si “mijloc”. Definitia cea mai generala considera modelul ca o reprezentare simplificata (materiala sau simbolica) a realitatii obiective (uneori a unei teorii abstracte), care se subordoneaza scopului cercetarii. Definitia cea mai ingusta include in categoria de model numai reprezentarile prin relatii matematice.

Conceptual, modelarea admite o dublã abordare :

.. construirea unui model al fenomenului studiat, în diverse grade de abstractizare;

.. instrument de cunoastere a realitãtii prin intermediul modelului.

Esenta modelãrii constã în înlocuirea procesului real studiat cu un obiect mai accesibil studiului. Modelarea si modelul se justificã atunci când analiza modelului (deductivã si/sau experimentalã) este mai accesibilã decât studierea nemijlocitã a fenomenului real.

În procesul de modelare, prin abstractizare (renuntare la caracteristici neesentiale ale sistemului în raport cu scopul), se obtine o imagine homomorfã simplificatã a sistemului real. Aceastã imagine este izomorfã cu modelul, fiecãrui element din imaginea homomorfã corespunzându-i un element al modelului.

Reciproc, prin analiza corectã a modelului, se obtin informatiile dorite privind sistemul studiat.