Tema de casă nr.1
1. Funcţii şi formule trigonometrice
2. Formule de derivare
3. Formule de integrare
Temă de casă nr.2
1. Să se determine constantele a şi b astfel încât funcţia
f(x,y) = x2 + ay2 + i(bxy)
să fie olomorfă pe C.
2. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că
u(x,y) = x3 – 3y2x – 2y şi f(0) = 0.
3. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că
u(x,y) = x2 – y2 + xy şi f(0) = 0.
4. Calculaţi
a. (1+i)25
b.
c. ln(-2+2i)
d. ln(4i-3)
e.
f.
g.
h.
i. sin(1+i)
j. tg(1-2i)
k. ch(4i-3)
CAPITOLUL I FUNCŢII COMPLEXE
1. Numere complexe
1.1. Construcţia numerelor complexe
Mulţimea numerelor complexe a apărut din necesitatea extinderii noţiunii de număr, având ca punct de pornire mulţimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaţie de gradul n să aibă n soluţii în noua mulţime.
Fie R corpul numerelor reale. Pe mulţimea R2 = R×R = {(x,y) / x, y R}, produsul cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire astfel:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)
(x1, y1) • (x2, y2) = (x1x2 – y1y2, x1y2 + y1x2)
1.1.1. Definiţie. Mulţimea R înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai sus formează corp, numit corpul numerelor complexe, ale cărui elemente se numesc numere complexe:
C = (R2, +, •)
1.1.2. Observaţie. (R2, +, •) este corp comutativ, axiomele verificâdu-se imediat, ţinând cont de proprietăţile operaţiilor de adunare şi înmulţire a numerelor reale.
Adunarea are proprietăţile:
• asociativitatea (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) , z1, z2, z3 C
• există elementul neutru faţă de adunare, 0=(0,0) şi avem:
z+0=0+z , z C
• pentru orice z=(x,y) C există opus lui
–z (–x, –y) C atfel ca z+(-z)=(-z)+z=0
• comutativitatea z1+z2=z2+z1 , z1, z2 C
Înmulţirea are proprietăţile:
• asociativitatea (z1.z2).z3=z1.(z2.z3) , z1, z2, z3 C
• există elementul neutru faţă de înmulţire, 1=(1,0) şi avem:
z.1=1.z=0 , z C
• pentru orice z=(x,y) C–{(0,0)} există inversul lui notat sau z-1 astfel ca z.z-1=z-1.z=1
care se mai poate scrie (x,y)•(x’,y’) = (1,0) ceea ce ne conduce la sistemul:
cu soluţia şi pentru (x,y) (0,0);
• comutativitatea z1.z2=z2.z1 , z1, z2 C
Forma algebrică a unui număr complex este z = x + i y, unde x este partea reală şi se notează x = Re z, y este partea imaginară şi se notează y = Im z, iar i este unitatea imaginară, i = - 1.
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
