CAPITOLUL I
ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI
§ 1. Definiţia ecuaţiilor diferenţiale.
Generalităţi.
Se consideră funcţia reală continuă F(x,y,y′,...,y(n)), definită pe [a,b] x Y,
Y ⊂ Rn+1 fiind un domeniu, având ca argumente variabila reală x ∈ [a,b] şi funcţia
reală y împreună cu derivatele ei y′, y′′,...,y(n).
Prin ecuaţia diferenţială de ordinul n generată de F şi notată
F(x,y,y′,...,y(n)) = 0, (1)
se înţelege problema găsirii unor funcţii f : [a,b] → R, care să satisfacă
- f ∈ Cn[a,b],
-(x, f(x), f′(x), ..., f(n)(x)) ∈ [a,b] x Y,
-are loc identitatea
F(x, f(x), f′(x), ..., f(n)(x)) ≡ 0. (2)
Funcţiile reale f(x) care îndeplinesc condiţiile de mai sus se numesc soluţii ale
ecuaţiei diferenţiale (1).
Numărul n, ordinul cel mai înalt de derivare, se numeşte ordinul ecuaţiei
diferenţiale.
Dacă n = 1 obţinem ecuaţiile diferenţiale de ordinul întâi care sunt, conform
definiţiei, relaţii de forma
F(x,y,y′) = 0 (formă implicită), (3)
sau
y′ = f(x,y), (formă explicită). (4)
Exemple
1. Ecuaţia diferenţială y′ = 2y este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. O
soluţie a ecuaţiei este y = e2x, x ∈ R.
10 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi - 1
Funcţia y = C e2x, unde C este constantă arbitrară, reprezintă o familie de soluţii
ale ecuaţiei date.
2. Ecuaţia y′′ + y = x este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi.
Funcţia y = C1 sin x + C2 cos x + x, x ∈ R, C1, C2 fiind două constante arbitrare,
este o familie de soluţii ale ecuaţiei date.
Prin definiţie, funcţia g(x,C) este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de
ordinul întâi (3) dacă g este soluţie a ecuaţiei şi dacă prin alegerea convenabilă a
constantei C, funcţia g(x,C) se transformă în orice soluţie a ecuaţiei date.
Se poate demonstra că, în general, soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de
ordinul n depinde de n constante arbitrare.
Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale se mai numeşte şi integrala generală a
ecuaţiei considerate.
Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi poate fi dată şi
implicit printr-o relaţie de forma
R(x,y,C) = 0, (5)
sau parametric printr-un sistem
x = ϕ(t,C), y = ψ(t,C). (6)
Se numeşte soluţia particulară a ecuaţiei (3) o funcţie y = g1(x), x ∈ [a,b], care se
obţine din soluţia generală y = g(x,C) dând o valoare particulară constantei arbitrare C.
Soluţia care nu se obţine din soluţia generală pentru nici o valoare particulară a
constantei arbitrare se numeşte soluţie singulară.
De exemplu, ecuaţia y′2 + xy′ – y = 0 are soluţia generală y = Cx + C2, x ∈ R şi
soluţia singulară x2
y = − 1 , x ∈ R.
Graficul unei soluţii a unei ecuaţii diferenţiale este o curbă plană, numită curbă
integrală.
Fie ecuaţia (4) cu f continuă într-un domeniu plan D. Se poate demonstra că
există o soluţie unică a ecuaţiei (4), al cărei grafic trece printr-un punct (x0,y0) ∈ D.
1.1 Definiţia ecuaţiilor diferenţiale 11
Problema determinării soluţiei ecuaţiei (4), y = g(x), care pentru x = x0 ia
valoarea y = y0, se numeşte problema lui Cauchy, iar condiţia ca pentru x = x0 să ia
valoarea dată y0 = g(x0), se numeşte condiţie iniţială.
În general, pentru o ecuaţie diferenţială de ordinul n, problema lui Cauchy se
exprimă astfel:
Fiind dată o ecuaţie diferenţială de ordinul n
y(n) = f(x,y,y′,...,y(n-1)),
să se determine soluţia acestei ecuaţii care îndeplineşte condiţiile
y(x0) = y0 ,
y′(x0) = y′0 ,
..................
y(n-1)(x0) = y0
(n-1),
unde
y0
, y′0,...,y0
(n-1) sunt numere date.
Condiţiile de mai sus se numesc condiţii iniţiale sau condiţiile lui Cauchy.
Orice familie de curbe plane f(x,y,C) = 0, (x,y) ∈ D, cu f continuă şi derivabilă
parţial în D, verifică o ecuaţie de ordinul I. Într-adevăr, derivând în raport cu x,
f′x + y′f′y = 0,
şi eliminând pe C între aceste două relaţii obţinem
ϕ(x, y, y′)= 0 ,
adică o ecuaţie diferenţială de ordinul I.
Aplicaţie. Să se găsească ecuaţia diferenţială a familiei de curbe
xy + Cy – x2 = 0.
Soluţie. Dacă derivăm în raport cu x avem
y – 2x + (x + C) y′ = 0.
Din prima relaţie rezultă
x + C = x2/ y,
care înlocuită în a doua conduce la ecuaţia diferenţială
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
