Matematici Financiare

§. 1. Notiuni introductive.

Fie R multimea numerelor reale (considerata ca axa a timpului); orice tÎR va fi numit moment (de timp). Daca s, t ÎR cu s £ t vom spune ca momentul s este moment anterior lui t sau ca t este moment ulterior lui s.

Notam D = {(s,t)ÎR2 / s £ t}.

Daca (s,t)ÎD vom spune ca (s,t) este un interval sau perioada (de timp) cu momentul initial s si momentul final t; daca (s,t)ÎD si ¸ÎR, astfel încât, s £ ¸ £ t (s < ¸ < t) vom spune ca ¸ este moment intermediar (respectiv, strict intermediar) al intervalului (s,t).

Diferenta t – s va fi numita durata sau lungimea intervalului (s,t). Unitatea de masura pentru durata unui interval va fi anul cu diviziunile sale: semestrul, trimestrul, luna, ziua. De regula, vom considera anul bancar (procedura germana):

1 an (bancar) = 2 semestre = 4 trimestre = 12 luni = 360 zile.

În anumite situatii, cu precizari în acest sens, se va folosi anul calendaristic de 365 de zile (respectiv, 366 în anii bisecti), cu luni de 28, 29, 30, respectiv 31 de zile (procedura engleza).

§.2. Dobânda

Pe piata financiara, din confruntarea între cerere si oferta, apare conceptul de pret al banilor, a carui semnificatie o da suficient de clar notiunea de dobânda.

Def.1. Vom numi functie dobânda unitara orice functie d: D’ R cu proprietatile:

1) d(s,s) = 0, " sÎ R;

2) d(s,¸) £ d(s,t) si d(¸,t) £ d(s,t), "(s, t)Î D, ¸Î R, s £ ¸ £ t.

Daca intervalul (s,t)Î D este fixat, numarul real d(s,t) reprezinta dobânda pentru o unitate monetara plasata pe intervalul (s,t), calculata cu functia d si va fi numita dobânda unitara corespunzatoare functiei d si perioadei (s,t). Daca t – s = 1 an, atunci d(s,s+1) este numita dobânda unitara anuala la momentul initial s.

Obs.: Din Def. 1, luând ¸ = s, obtinem 0 = d(s, s) £ d(s, t), adica functia dobânda unitara ia numai valori pozitive.

Exemplul 1: Functia d: D’ R+ data prin d(s,t) = (s – t)(2 – s2 – st – t2) este o functie dobânda unitara. Într – adevar,

• d(s,s) = 0, " sÎ R;

• d(s,q) = (s - q)(2 - s2 - sq - t2) = 2(q - s) + (q - s)3 £ 2(t – s) + (t – s)3 = d(s,t),

d(q,t) = 2(t - q) + (t - q)3 £ 2(t – s) + (t – s)3 = d(s,t),

deci d este o functie dobânda unitara

Fie d: D’ R+ o functie dobânda unitara.

Def. 2. Functiile s, a: D’ R+ date prin

s(s,t) = 1+d(s,t) , a(s,t) = , "(s,t)Î D

vor fi numite functie factor de fructificare, respectiv, functie factor de actualizare asociate functiei d.

Daca intervalul (s,t)Î D este fixat, numerele reale s(s,t), respectiv a(s,t) vor fi numite factor de fructificare, respectiv factor de actualizare pe perioada (s,t), corespunzatoare functiei d.

Def. 3. Vom numi operatiune financiara (sau tranzactie financiara) tripletul definit prin fixarea a trei elemente:

1) un capital initial (suma initiala) S0Î R+ ;

2) o perioada (s,t)Î D;

3) o functie dobânda unitara d.

În continuare, vom nota (S0, (s,t), d ) o operatiune financiara de capital initial S0, pe perioada (s,t), cu calculul dobânzii dat de functia d.

Practic, printr-o operatiune financiara suma S0 este plasata de catre un partener P1(creditor) catre un partener P2(debitor), în anumite conditii si într-un anumit scop. În general, conditiile sunt rezultatul unor negocieri între cei doi parteneri(care pot fi persoane, grupuri de persoane, institutii, etc.), chiar daca, potrivit unei legi nescrise, ,,cine detine aurul stabileste regulile’’. Scopul plasamentului poate fi pentru economisire, pentru împrumut, pentru rambursare a unui împrumut, etc..