Capitolul 1
Numere reale. Func¸tii reale
1.1 Numere reale
Mul¸timea numerelor reale R formeaz˘a în raport cu opera¸tiile de adunare ¸si îmul¸tire o
structur˘a algebric˘a de corp comutativ.
O submul¸time A ⊂ R se nume¸ste majorat˘a sau m˘arginit˘a superior dac˘a exist˘a un
num˘ar real b astfel încât x ≤ b pentru orice x ∈ A. În acest caz b se nume¸ste majorant
al mul¸timii A. Dac˘a b ∈ A, spunem c˘a A are un cel mai mare element. El se noteaz˘a
maxA.
Axioma lui Cantor. Orice submul¸time nevid˘a majorat˘a A ⊂ R admite un cel mai
mic majorant.
Cel mai mic majorant al mul¸tmii A se nume¸ste margimea superioar˘a a lui A ¸si se
noteaz˘a supA.
În mod asem˘an˘ator se definesc cel mai mic element, notat minA¸si marginea inferioar˘a
a lui A, notat˘a inf A.
Defini¸tie. Spunem c˘a mul¸timea A este m˘arginit˘a dac˘a este m˘arginit˘a superior ¸si
inferior.
Axioma lui Arhimede. Pentru orice num˘ar real x ∈ R exist˘a un num˘ar întreg k
a.î. k ≤ x < k + 1.
Acest num˘ar este numit partea întreag˘a a lui x ¸si se noteaz˘a [x].
Mul¸timea numerelor reale R poate fi reprezentat˘a biunivoc pe o dreapt˘a, numit˘a
dreapta real˘a. Din acest motiv numerele reale se mai numesc puncte.
Submul¸timea (a, b) = {x ∈ R, a < x < b} se nume¸ste interval deschis, iar submul¸timea
[a, b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b} se nume¸ste interval închis ¸si m˘arginit.
Se nume¸ste vecin˘atate a unui punct x0 ∈ R orice interval deschis (a, b) care con¸tine
punctul x0.
Mul¸timea format˘a din toate numerele reale împreun˘a cu +∞ ¸si −∞ se nume¸ste
dreapta încheiat˘a ¸si se noteaz˘a cu R. Semidreptele de forma (a,+∞) se numesc vecin˘at˘a¸ti
ale lui +∞, iar semidreptele de forme (−∞, a) se numesc vecin˘at˘a¸ti ale lui −∞.
Pentru orice a, b ∈ R, not˘am prin max (a, b) cel mai mare dintre numerele a, b. Pentru
6 CAPITOLUL 1. NUMERE REALE. FUNC ¸ TII REALE
orice x ∈ R, modulul lui x se define¸ste prin
Modulul are urm˘atoarele propriet˘a¸tile: 1. |x| ≥ 0 ¸si |x| = 0 d.d. x = 0, 2. |x + y| ≤
|x| + |y|, 3. |xy| = |x| |y|, 4. Pentru ε > 0, |x| < ε d.d. −ε < x < ε.
1.2 Probleme
1.1 Fie a ∈ R, a
= 0. S˘a se rezolve în R ecua¸tiile: x2 = a2, x3 = a3, x4 = a4.
Solu¸tie. Se ob¸tine: x = ±a, x = a, x = ±a.
1.2 S˘a se rezolve în R ecua¸tiile:
a) |x| + |x + 1| = 1, b) |x − 1| + |x + 1| = 2.
Solu¸tie. a). x ∈ [−1, 0], b) x ∈ [−1, 1].
1.3 Dac˘a x, y ∈ R ¸si |x − 1| ≤ 4, |y − 2| ≤ 5, s˘a se arate c˘a −6 ≤ x + y ≤ 12.
Solu¸tie. Avem: −3 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 7. Deci −6 ≤ x + y ≤ 12.
1.4 S˘a se rezolve în R inecua¸tiile: a) |x|+|x − 1| > 0, b) |x|+|x − 3| < 0, c) |x − 1| ≤ 1,
d) |x| + |x − 2| ≤ 2x, e) |x + 1| > 2, f) |x + 1| > −1, g) |x − 1| + |x2 − 3x + 2| > 0.
Solu¸tie. Avem: a) x ∈ R, b) ∅, c) x ∈ [0, 2], d) x ∈ [1,∞), e) x ∈ (−∞,−3) ∪ (1,∞),
f) x ∈ R, g) Inecua¸tia se mai scrie: |x − 1| (1 + |x + 2|) > 0. Deci |x − 1| > 0, adic˘a
x ∈ R {1}.
1.5 Fie x1, x2, y1, y2 ∈ R a.î. x1 ≤ y1, x2 ≤ y2 ¸si x1 + x2 = y1 + y2. S˘a se arate c˘a
x1 = y1, x2 = y2. Generalizare.
Solu¸tie. Avem c˘a (y1 − x1) + (y2 − x2) = 0 ¸si y1 − x1 ≥ 0, y2 − x2 ≥ 0. Dar o
sum˘a de numere nenegative este nul˘a numai dac˘a fiecare termen este nul, ceea ce implic˘a
y1 − x1 = 0, y2 − x2 = 0.
Generalizare: Fie xi, yi ∈ R a.î. xi ≤ yi, i = 1, n ¸si
1.6 Pentru orice x, y ∈ R, definim media aritmetic˘a ma = x+y
2 , media geometric˘a
mg = √xy, media armonic˘a mα = 2xy
x+y . S˘a se arate c˘a: mα ≤ mg ≤ ma.
Solu¸tie. Ambele inegalit˘a¸ti sunt echivalente cu inegalitatea
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.