CAPITOLUL I
SERII DE NUMERE REALE
CURSUL 1
1.1. Şiruri de numere reale ....................................................................................2
1.2. Proprietăţi generale ale seriilor de numere reale ............................................5
Acest capitol este destinat studiului seriilor de numere reale cu ajutorul cărora
noţiunea de sumă a unui şir finit de numere reale poate fi extinsă la cazul unui şir
infinit de numere reale.
În prima parte a capitolului se realizează o scurtă trecere în revistă a noţiunilor
de şir convergent respectiv şir fundamental de numere reale.
Partea a doua a capitolului cuprinde câteva proprietăţi generale ale seriilor de
numere precum şi criterii de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi respectiv
serii alternate.
1
1.1. ŞIRURI DE NUMERE REALE
1.1. Definiţie. O funcţie f : ΙN ® ΙR se numeşte şir de numere reale. Pentru orice
nÎ ΙN considerând f(n)=an şirul de numere reale astfel definit se va nota (an)nÎ ΙN
sau (an)n ³ 0.
1.2. Definiţie. Un şir de numere reale (an)n ³ 0 se numeşte convergent către aÎ ΙR
dacă:
" e >0 $ nεÎ ΙN astfel încât " nÎ ΙN, n³ nε rezultă ׀an-a׀<e .
În acest caz se notează n® ¥
liman =a. Numărul real a se numeşte limita şirului (an)n
³ 0.
Reamintim următoarea condiţie suficientă de convergenţă a unui şir de numere
reale:
1.3. Propoziţie. Un şir de numere reale este convergent dacă este monoton şi
mărginit.
1.4. Definiţie. Un şir (an)n ³ 0 de numere reale se numeşte şir fundamental sau şir
Cauchy dacă:
" e >0 $ nεÎ ΙN astfel încât " m,nÎ ΙN, m,n³ nε rezultă ׀am-an׀<e .
În cazul în care m=n inegalitatea precedentă este automat satisfăcută. Dacă
presupunem m>n (cazul m<n este similar) şi notăm p=m-n avem pÎ ΙN, p³ 1 şi
m=n+p. Astfel condiţia din definiţia 1.4. este echivalentă cu:
" e >0 $ nεÎ ΙN astfel încât " nÎ ΙN, n³ nε şi " pÎ ΙN* rezultă ׀an+p-an׀<e .
1.5. Exemple.
1. Să se demonstreze că următoarele şiruri de numere reale sunt fundamentale:
a) an = 1+
2
1
2 +
3
1
2 +...+
n
1
2 , n ³ 1
b) an = 1+
2!
1
+
3!
1
+...+
n!
1
, n ³ 0
Soluţie: a) Avem
2
׀an+p-an׀= (n 1)
1
2 + + (n 2)
1
2 + +...+ (n p)
1
2 + .
Deoarece
(n k)
1
2 + < (n k 1)(n k)
1
+ - + =
n k 1
1
+ -
-
n k
1
+
, k=1, p
obţinem:
׀an+p-an׀<
n
1
-
n 1
1
+
+
n 1
1
+
-
n 2
1
+
+...+ n p 1
1
+ - - n p
1
+ =
=
n
1
- n p
1
+ .
Dar
n
1
- n p
1
+ <
n
1
, " pÎ ΙN*
şi deci
׀an+p-an׀<
n
1
, " pÎ ΙN*
Cum n® ¥
lim
n
1
=0 se obţine că
" e >0 $ nεÎ ΙN astfel încât " nÎ ΙN, n³ nε rezultă ׀an+p-an׀<
n
1
<e , " pÎ ΙN*.
Prin urmare şirul (an)n ³ 1 este fundamental.
b) În relaţia
׀an+p-an׀= (n 1)!
1
+ + (n 2)!
1
+ +...+ (n p)!
1
+
folosind inegalitatea n! ³ 2n-1 , " nÎ ΙN avem
׀an+p-an £ ׀
2
1
n +
2
1
n+ 1 +...+
2
1
n+ p- 1 =
2
1
n- 1 1-)
2
1
p )<
2
1
n- 1 , " pÎ ΙN*.
Deoarece n® ¥
lim
2
1
n- 1 =0 se obţine că
14 cursuri + exercitii rezolvate
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
