Integrala Fourier

Fie f(t) o functie reala sau complexa definita pe toata axa reala. Daca f(t) este neperiodica atunci nu mai poate fi dezvoltata in serie Fourier, in schimb, in anumite conditii, care vor fi precizate mai jos, ea poate fi reprezentata printr-o integrala dubla improprie care prezinta o oarecare analogie cu seria Fourier.

Pornind de la forma complexa a seriei Fourier se poate demonstra urmatorul rezultat central din acest capitol numit teorema de reprezentare a unei functii prin integrala Fourier.

Fie . Presupunem ca:

- f satisface conditiile lui Dirichlet in orice interval de lungime finita;

- in ficare punct c de discontinuitate valoarea functiei este egala cu media aritmetica a limitelor laterale in acel punct, ;

- f este absolut integrabila pe , adica converge.

Atunci are loc urmatoarea reprezentare pentru f:

numita si formula lui Fourier iar membrul drept al acesteia se numeste integrala lui Fourier.

Forma reala a integralei Fourier

Folosind faptul ca formula lui Fourier devine:

.

Sa observam ca functiile:

,

au proprietatile: si . Rezulta:

si .

Prin urmare, obtinem reprezentarea:

,

numita forma reala a integralei Fourier.

Analogia cu seria Fourier

Pornind de la forma reala a integralei Fourier sa dezvoltam pe :

.

Obtinem:

.

Daca notam:

,

rezulta:

.

Pe aceasta forma de reprezentare se vede analogia cu seria Fourier.

Reprezentari in cazul functiilor pare si impare

Folosind ultima reprezentare observam ca:

- daca f este para, atunci si prin urmare:

;

- daca f este impara, atunci si rezulta:

.

Transformata Fourier

In conditiile teoremei de reprezentare a unei functii prin integrala Fourier, in formula:

,

sa notam cu

.

Rezulta