Integrala Definită

Integrala definită

1. Aria unei suprafeţe plane mărginită de o curbă.

Fie o funcţie continuă, pozitivă şi crescătoare în intervalul . Graficul acestei funcţii este un arc de curbă situat deasupra axei 0x. Ne propunem să calculăm aria trapezului mixtiliniu . În acest scop vom construi un şir de poligoane exterioare şi un şir de poli-goane interioare de o formă anumită, care ne vor duce la rezultat. Să împărţim intervalul prin punctele în n subintervale, iar prin aceste puncte să ducem paralele la axa 0y, paralele care taie arcul în punctele astfel încât trapezul mixtiliniu apare ca o reuniune a n trapeze mixtilinii

Dacă notăm

atunci aria totală A este suma ariilor elementare

A =

Aria a trapezului mixtiliniu este cuprinsă între aria dreptunghiului exterior şi a dreptunghiului interior ; dacă notăm cu şi aceste două arii

urmează că avem neegalităţile

însumând, obţinem

unde

Sumele s şi S se numesc sumele lui Darboux.

Să observăm că S este aria poligonului exterior, obţinut ca reuniunea dreptunghiurilor exterioare , iar s este aria poligonului interior obţinut ca reuniunea dreptunghiuri-lor interioare corespunzătoare diviziunii

Înainte de a merge mai departe, să definim câteva noţiuni.

a) Fie un interval închis şi mărginit. O familie unită de puncte

se numeşte o diviziune a intervalului . Un interval oarecare al diviziunii se numeşte interval parţial sau subinterval.

b) Vom numi norma diviziunii numărul pozitiv

adică lungimea celui mai mare interval parţial al diviziunii d; deci pentru orice avem

c) Vom spune că o diviziune a intervalului este mai fină decât diviziunea d şi se scrie sau dacă toate punctele diviziunii d aparţin diviziunii (care conţine şi alte puncte). Dacă este mai fină decât d, atunci

(1)

Reciproca nu este însă în general adevărată, adică neegalitatea (1) nu atrage incluziunea , deoarece diviziunea poate fi formată din intervale parţiale mai mici decât ale divi-ziunii d, fără ca toate punctele diviziunii d să aparţină diviziunii .

Să considerăm acum un şir de diviziuni ordonate după relaţia de fineţe

prin urmare normele lor formează şirul descrescător

Să cerem ca În aceste condiţii, şirul sumelor s

şi al sumelor S

sunt convergente către o limită comună care este aria trapezului mixtiliniu . Într-adevăr, avem

deci şi

. (2)

Funcţia fiind continuă în intervalul este uniform continuă în , deci pentru orice număr există un număr astfel încât să avem

oricare ar fi , care satisfac neegalitatea

Să considerăm acum numărul N astfel încât pentru toate diviziunile să îndepli-nească condiţia

fapt ce este posibil, deoarece când . Deci pentru două puncte consecutive oa-recare ale unei diviziuni , avem

deoarece deci şi Cu aceste rezultate, neegalitatea (2) se scrie

de unde rezultă imediat că şi au aceeaşi limită, anume aria A a trapezului curbiliniu .

Numărul A se numeşte şi integrala definită a funcţiei în intervalul şi se notează

A=

(se citeşte integrală de la a la b din ). Semnul se numeşte semnul de integrare; a, b se numesc limitele de integrare, a limita inferioară şi b limita superioară. Intervalul se numeşte interval de integrare, iar funcţia de integrat sau integrant.

În continuare ne vom ocupa de convergenţa sumelor şi în condiţii mai largi pentru funcţia .