Inegalități Geometrice în Triunghi

II.1 Inegalităţi fundamentale

Definiţia II.1.1: Spunem că segmentul [AB] este mai mic decât segmentul [CD] dacă măsura segmentului [AB] este mai mica decât măsura segmentului [CD] şi scriem [AB]<[CD] dacă AB<CD sau dacă AB<CD (fig. II.1.1) .

Definiţia II.1.2: Spunem că este mai mic decât dacă măsura unghiului este mai mică decât măsura unghiului şi scriem: dacă (fig. II.1.2)

fig.II.1.1

fig.II.1.2

Definiţia II.1.3: Un unghi se numeşte exterior al unui triunghi dacă este adiacent cu unul dintre unghiurile triunghiului şi suplementar cu el.

fig.II.1.3

În fig.II.1.3; (BN şi (BC sunt semidrepte opuse, unghiurile şi sunt adiacente şi suplementare, iar este unghi al triunghiului, deci unghiul este unghi exterior triunghiului ABC.

De asemenea, unghiurile , , , , sunt unghiuri exterioare triunghiului ABC.

Teorema II.1.1: (Teorema unghiului exterior).

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât oricare dintre unghiurile triunghiului, neadiacent cu acel unghi.

Demonstraţie:

Fie triunghiul ABC (fig.II.1.4). Unghiurile şi sunt exterioare triunghiului ABC, unde . Se va arăta că: .

Fie D mijlocul segmentului (AC) şi

astfel încât .

Punctele E şi M sunt de aceeaşi

parte a dreptei AC, iar E şi D sunt

de aceeaşi parte

a dreptei AM, deci .

Rezultă că: .

Dar

(unghiuri opuse la vârf) şi

rezultă că (cazul L.U.L.)

De aici obţinem şi, fig.II.1.4

ţinând cont că , deducem că adică .

Se va arăta acum că .

Fie P mijlocul segmentului (AB) şi

astfel încât (fig.II.1.5).

Punctele Q şi N sunt de aceeaşi parte

a dreptei AB, iar Q şi P de aceeaşi

parte a dreptei AN. Deci

rezultă că .

Dar şi

ceea ce implică congruenţa

triunghiului APQ cu triunghiul BPC.

fig.II.1.5

De aici rezultă că dar prin urmare avem adică

Cum (opuse la vârf) obţinem . Deci am demonstrat că şi .

Teorema II.1.2:Într-un triunghi cu două laturi necongruente, laturii cu lungimea mai mare i se opune unghiul cu măsura cea mai mare.

Demonstraţie:

Fie triunghiul ABC cu AC>AB (fig.II.1.6).

Se consideră punctul astfel

încât . Atunci triunghiul ABD

este triunghi isoscel şi .

Dar este unghi exterior triunghiului

BDC şi folosind teorema II.1.1 obţinem că

. Rezultă că

iar cum avem şi

deci Prin urmare,

ceea ce implică .