Funcții Reale de mai multe Variabile Reale

5.1. Mulţimi şi puncte din Rn

Fie Rn spaţiul vectorial real n dimensional. Fie

( )T n

n x = x , x , , x R 1 2 Κ şi ( )T n

n y = y , y , , y R 1 2 Κ .

DEFINIŢIA 5.1.1. : Aplicaţia , : Rn × Rn → R dată de

relaţia

=

=

n

i

i i x y x y

1

, este un produs scalar real.

Se arată uşor că ea verifică axiomele unui produs scalar

real.

PS1) x, y = y, x , (∀)x, y Rn

PS2) λx, y = λ x, y , (∀)λ R, (∀)x, y Rn

PS3) x + y, z = x, z + y, z , (∀)x, y, z Rn

PS4) x, x ≥ 0, (∀)x Rn şi x, x = 0⇔ x =θ (unde

θ este vectorul nul din Rn )

Deci Rn este un spaţiu euclidian.

DEFINIŢIA 5.1.2. : Aplicaţia • : Rn → R dată de relaţia

=

= =

n

i

i x x x x

1

, 2 este o normă şi deci Rn este un spaţiu

vectorial normat.

Într-adevăr, se arată imediat că:

n1) x ≥ 0, (∀)x Rn şi x = 0 ⇔ x =θ

n2) λx = λ ⋅ || x | , (∀)λ R, (∀)x Rn

n3) x + y ≤ x + y , (∀)x, y Rn

DEFINIŢIA 5.1.3. : Un spaţiu vectorial peste care s-a

definit o normă se numeşte spaţiu vectorial normat.

DEFINIŢIA 5.1.4. : O aplicaţie d : X × X → R se

numeşte distanţă dacă :

d1) d(x, y) ≥ 0, (∀)x, y X şi d (x, y) = 0⇔ x = y

d2) d (x, y) = d (y, x), (∀)x, y, z X

d3) d (x, z) ≤ d(x, y)+ d (y, z), (∀)x, y, z X

DEFINIŢIA 5.1.5. : O mulţime nevidă X peste care s-a

definit o distanţă se numeşte spaţiu metric.

Vom arăta acum că Rn este un spaţiu metric. Într-adevăr,

R R R d n n → × : , ( ) ( )

=

= − = −

n

i

i i d x y x y x y

1

, 2 verifică axiomele

unei distanţe ( metrice ).

DEFINIŢIA 5.1.6. : Fie A ⊂ Rn . Funcţia f : A→ R

este o lege prin care fiecărui element x A îi corespunde un număr

real y şi numai unul singur.

y f (x x ) x A n = , , 1 Κ , ( )T n

n x = x , x , , x R 1 2 Κ

Funcţia f : A→ R se numeşte funcţie reală de n variabile

reale.

DEFINIŢIA 5.1.7. : Fie a Rn şi fie r R, r > 0. Mulţimea

S a {x Rn x a r}

r ( ) = | − < se numeşte sfera deschisă cu centrul în

punctul x0 , de rază “r”.

DEFINIŢIA 5.1.8. : Fie ( )T

n

a Rn , a a , , a 1 = Κ .

Fie x Rn 0 , ( )T x x xn0

1

0 0 = ,Κ , şi fie ( )T

n

x Rn , x x , x , , x 1 2 = Κ .

Mulţimea Pa(x0) de forma P (x ) {x R x x a i n} i

i

i

n

a | , 1,..., 0 0 = − < =

se numeşte paralelogram deschis care conţine punctul “a”.

DEFINIŢIA 5.1.9. : Prin vecinătatea V(a) , a Rn ,

întelegem orice sferă deschisă de rază “r” cu centrul în punctul “a”.

O vecinătate poate fi şi un paralelogram deschis .

Mulţimea C (x ) {x R x xi r i n}

i

n

r | , 1,..., 0 0 = − < = se

numeşte hipercub. (r>0)

Curs 5