Ecuații diferențiale

Teoria probabilit˘at¸ilor este o teorie matematic˘a deductiv˘a, care

studiaz˘a fenomenele aleatoare de mas˘a. Aceste fenomene au proprietatea

de stabilitate a frecvent¸ei aparit¸iei lorˆın condit¸ii identice.

2.1 Cˆamp de evenimente

Definit¸ia 2.1 Se nume¸ste experiment (experient¸˘a) o operat¸ie

repetabil˘a ˆın condit¸ii date. Efectuarea unei experient¸e se nume¸ste

prob˘a. Rezultatul unei probe se nume¸ste eveniment.

S˘a consider˘am experient¸a arunc˘arii unui zar. Aceasta are o

mult¸ime ­ de cazuri (sau rezultate posibile), ­ = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.

Putem considera urm˘atoarele evenimente:

A: aparit¸ia unui num˘ar par;

B: aparit¸ia unui num˘ar impar;

C: aparit¸ia unui num˘ar · 3;

D: aparit¸ia num˘arului 5.

Dac˘a la o aruncare apare fat¸a 4, evenimentul A s-a realizat ¸si

6

B;C;D nu s-au realizat. Fiec˘arui eveniment ˆıi corespunde o mult

¸ime de cazuri favorabile, care este o submult¸ime a lui ­.

Evenimentului A ˆıi corespunde submult¸imea f2; 4; 6g, evenimentului

B ˆıi corespunde submult¸imea f1; 3; 5g, evenimentului C

ˆıi corespunde submult¸imea f1; 2; 3g ¸si evenimentului D ˆıi corespunde

submult¸imea f5g.

Putem scrie:

A = f2; 4; 6g;

B = f1; 3; 5g;

C = f1; 2; 3g;

D = f5g:

Evenimentele care au un singur caz favorabil se numesc evenimente

elementare. Evenimentul sigur este evenimentul care

se realizeaz˘a cu certitudine la orice prob˘a. Toate cazurile posibile

ale experient¸ei sunt favorabile acestui eveniment. Evenimentul

imposibil este contrarul evenimentului sigur. El nu are nici un

caz favorabil.

2.1.1 Eveniment implicat de alt eveniment

Definit¸ia 2.2 Evenimentul A implic˘a evenimentul B dac˘a realizarea

lui A atrage dup˘a sine realizarea lui B, adic˘a orice caz

care realizeaz˘a pe A realizeaz˘a pe B.

Rezult˘a de aici c˘a mult¸imea cazurilor favorabile lui A este inclus˘a

ˆın mult¸imea cazurilor favorabile lui B.

De exemplu, la aruncarea unui zar, dac˘a A = f1; 2; 3g; B =

f1; 2; 3; 4g se vede c˘a A implic˘a B, iar ca mult¸imi, A ½ B. Este

evident c˘a A ½ A, A ½ ­. Evenimentul imposibil implic˘a orice

eveniment (? ½ A).

Se folosesc urm˘atoarele notat¸ii:

- ­ - evenimentul sigur;

- ? - evenimentul imposibil;

- A;B;C, , A1;A2;A3, , - evenimente oarecare;

- !1; !2; :::; !n sau f!1g; f!2g; :::; f!ng - evenimentele elementare

corespunz˘atoare unui experiment.

2.1.2 Operat¸ii cu evenimente

Fie A ¸si B dou˘a evenimente date.

A sau B este evenimentul a c˘arui realizare ˆınseamn˘a realizarea

cel put¸in a unuia din ele. Acest lucru se scrie A [ B.

A ¸si B este evenimentul a c˘arui realizare ˆınseamn˘a realizarea

ambelor evenimente A;B ¸si se scrie A B.

non A este evenimentul care se realizeaz˘a dac˘a nu se realizeaz˘a

A ¸si se noteaz˘a A¯.

Operat¸iile cu evenimente au urm˘atoarele propriet˘at¸i:

1: A [ A = A; 2: A [ ­ = ­; 3: A A = A; 4: A ­ = A;

5: A [ ? = A; 6: A ? = ?; 7: A [ A¯ = ­; 8: A A¯ = ?:

2.1.3 Evenimente incompatibile. Evenimente

compatibile

Evenimentele A ¸si B sunt incompatibile dac˘a nu se pot realiza

ˆımpreun˘a ˆın nici o efectuare a experient¸ei. De aici rezult˘a c˘a realizarea

unuia din cele dou˘a evenimente are ca urmare nerealizarea

celuilalt. Cu alte cuvinte, A ¸si B sunt incompatibile dac˘a ¸si numai

dac˘a realizarea evenimentului A ¸si B este imposibil˘a (adic˘a

A B = ?).

Evenimentele A ¸si B sunt compatibile dac˘a se pot realiza

ˆımpreun˘a ˆın aceea¸si prob˘a, adic˘a dac˘a au cel put¸in un caz favorabil

comun.