Dispersia, elemente de statistică matematică

Propoziţia 1. Proprietăţile dispersiei sunt:

i) Dacă , atunci ;

ii) Dacă X este o variabilă aleatoare cu dispersia finită şi atunci ;

iii) Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare independente definite pe acelaşi câmp de probabilitate atunci .

Definiţia 1. Numim “abatere medie pătratică” a variabilei aleatoare X, notată sau simplu , numărul: .

Definiţia 2. Numim variabilă aleatoare normată orice variabilă aleatoare cu media egală cu zero şi dispersia egală cu unu.

Observaţie: Dacă X este o variabilă aleatoare cu media m şi dispersia finite atunci variabila aleatoare: , este variabilă aleatoare normată.

Definiţia 3. Numim covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y (notată cov(X,Y)) media variabilei , deci:

Propoziţia 2. Are loc egalitatea:

Corolarul 1. Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente atunci

Definiţia 4. Numim “coeficient de corelaţie” al variabilelor aleatoare X şi Y numărul:

Definiţia 5. Dacă spunem că variabilele aleatoare X şi Y sunt necorelate.

Propoziţia 3. Oricare ar fi variabilele aleatoare X şi Y coeficientul lor de corelaţie aparţine intervalului .

Propoziţia 4. Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare definite pe acelaşi câmp de probabilitate atunci:

i) ;

ii) .

Variabile aleatoare vectoriale

Definiţia 6. Numim variabilă aleatoare bidimensională (sau vector aleator bidimensional) aplicaţia: , ale cărei componente , sunt variabile aleatoare reale.

Definiţia 7. Funcţia definită prin:

pentru orice se numeşte “funcţia de repartiţie” a variabilei aleatoare .

Propoziţia 5. Dacă este funcţia de repartiţie a vectorului aleator atunci:

i) ;

ii) , pentru orice ;

iii) F este crescătoare în fiecare argument;

iv) F este continuă la stânga în fiecare argument.

Fie o variabilă aleatoare vectorială cu funcţia de repartiţie pentru orice .

Pentru orice , este o variabilă reală, numită “componentă” a vectorului aleator .

Notăm , funcţia de repartiţie a componentei Xi adică pentru .