Calcul variațional

a). Problema brahistocronei. Un punct material porneşte din O(0,0) fără viteză

iniţială şi se mişcă sub acţiunea gravităţii pe un arc de curbă OA cuprins într-un plan

vertical. Se cere arcul de curbă pe care mobilul ajunge din O în A(x1,y1) în timpul

cel mai scurt.

Considerând axa Oy dirijată după

verticală în jos, viteza mobilului în fiecare

punct al arcului OA este

2 g y

dt

V = ds = ,

g fiind acceleraţia gravităţii. Timpul în

care mobilul descrie arcul OA va fi dat de integrala curbilinie

= ∫ =∫

OA OA 2 gy

ds

V

T ds . (1)

Fie

y = y(x), x∈[0,x1] ,

ecuaţia a arcului OA. Integrala (1) se mai poate scrie

∫ +

= x1

0

2

dx

2 gy

1 y'

T . (1’)

Avem de determinat arcul OA, cu extremităţile date, pe care integrala (1) este

minimă. Cu alte cuvinte se cere funcţia y(x) care satisface condiţiile

y(0) = 0, y(x1) = y1

138 Calculul variaţional -6

Γ

Δ

şi care minimalizează integrala (1’).

b). Problema geodezicelor. Dintre toate arcele de curbă trasate pe o suprafaţă S

care unesc două puncte A şi B de pe suprafaţă, să se determine arcul care are lungimea

minimă.

Fie

F(x,y,z) = 0 (2)

ecuaţia suprafeţei S şi A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2) cele două puncte de pe suprafaţă. Dacă

y = y(x), z = z(x); x ∈[x1,x2]

sunt ecuaţiile unui arc de curbă trasat pe suprafaţă care uneşte cele două puncte A şi B,

funcţiile y(x), z(x) verifică ecuaţia suprafeţei şi satisfac condiţiile

y(x1) = y1 , y(x2) = y2 ; z(x1) = z1 , z(x2) = z2. (3)

Lungimea arcului AB este

= ∫ + ′ + ′ 2

1

x

x

L 1 y 2 z 2 dx . (4)

Problema se poate formula astfel: Se cer funcţiile y(x) şi z(x), legate prin relaţia

(2), care satisfac condiţiile la limită (3) şi minimalizează integrala (4).

c). Problema suprafeţelor minime (Plateau). Dată fiind o curbă simplă închisă C,

situată în spaţiul cu trei dimensiuni, se cere să se determine suprafaţa deschisă S

mărginită de această curbă care are aria minimă.

Să presupunem că proiecţia Γ a curbei C pe

planul xOy este tot o curbă simplă de ecuaţie

ϕ(x,y) = 0 şi că domeniul mărginit Δ din planul xOy,

având frontiera Γ , este proiecţia suprafeţei S pe acest

plan.

Fie

z = z(x,y);

M(x,