Capitolul 1
Diferente finite
1.1 Diferente finite
Diferentele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind integrarea
si derivarea numerica, integrarea ecuatiilor diferentiale ordinare si cu
derivate partiale. Functiile care intervin ın acest capitol sunt functii reale de o
variabila reala. Printr-o diferenta finita de ıntelege un operator de forma
hf(x) = Af(x + ah) − Bf(x + bh) (1.1)
unde A,B, a, b sunt constante reale. Se observa caracterul liniar al operatorului
h(f + μg) = hf + μ hg.
Diferentele finite de ordin superior se introduc recursiv
0
hf = f
nh
f = h( n−1
h f), n > 1.
Diferentele finite uzuale sunt:
• diferenta finita progresiva
4hf(x) = f(x + h) − f(x);
• diferenta finita regresiva
rhf(x) = f(x) − f(x − h);
• diferenta finita centrata
hf(x) = f(x + h
2
) − f(x −
h
2
).
8
1.1. DIFERENTE FINITE 9
In cele ce urmeaza vom studia doar diferentele finite uzuale.
Formulele explicite de calcul ale unei diferente finite de ordin superior sunt
Teorema 1.1.1 Au loc egalitatile:
(i) 4nh
f(x) =
Pn
k=0
n
k
(−1)n−kf(x + kh);
(ii) rnh
f(x) =
Pn
n
k
(−1)kf(x − kh);
(iii) f(x + nh) =
Pn
k=0
n
k
4k
hf(x);
(iv) f(x − nh) =
Pn
k=0
n
k
(−1)krk
hf(x).
(1.2)
Demonstratie. 4nh
f(x) se exprima ca o combinatie liniara a valorilor lui f ın
x, x + h, . . . , x + nh, adica are loc o formula de forma
4nh
f(x) =
Xn
k=0
Akf(x + kh).
Pentru determinarea coeficientilor (Ak)0kn, alegem f(x) = ex si atunci
ex(eh − 1)n =
Xn
k=0
Akex+kh.
Dezvolt and binomul din membrul st ang gasim
Xn
k=0
n
k
(−1)n−kex+kh =
Xn
k=0
Akex+kh.
Identific and coeficientii lui ex+kh gasim Ak =
n
k
(−1)n−k, adica relatia (i).
In mod asemanator se pot justifica si celelelte relatii.
Stabilim o serie de proprietati ale diferentei finita progresiva. Rezultate asem
anatoare se pot deduce si pentru celelalte diferente finite.
Teorema 1.1.2 (Teorema de medie) Daca functia f este derivabila de ordin
n atunci exista c 2 (x, x + nh) astfel ınc at
Universitatea Transilvania din Bra¸sov
Facultatea de Matematica–Informatica
Catedra de Informatica
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
